Algorithmical la replicación de una ganancia y pérdida de función utilizando diferentes opciones

Question

A menudo veo que preguntas como "Dado este chiste gráfico (ejemplo abajo), la construcción de una cartera que replica." Quiero saber si hay un método eficiente/algoritmo para encontrar las piezas individuales que la componen (long/short put/llamadas/stock).

Para plantear esta más matemáticamente, dada la ganancia y pérdida de función debajo de donde $x$ es el precio de las acciones en el momento del vencimiento y dado que cada tipo de opción que tiene una prima fija (no necesariamente el mismo, pero tal vez un fácil asunción para empezar), se puede recrear de manera eficiente este de opciones individuales?

$$ P(x)= \begin{casos} p_0(x), & x \le \beta_0 \\ p_1(x), & \beta_0 \le x \le \beta_1 \\ \qquad. \\ \qquad. \\ \qquad. \\ p_n(x), & \beta_{n-1} \le x \le \beta_n \\ \end{casos} $$

Sabemos que cada uno $p_i(x)$ es constante o lineal y cada opción básica tipo tiene una función asociada con ella. Por ejemplo, acortando una call con precio de ejercicio k y premium p le da a la función: $$ \begin{casos} p, & x \le k \\ -x+k+p, & x \ge k \\ \end{casos} $$

Answer 1

Usted puede encontrar un algoritmo exacto con un paso a paso la explicación aquí: https://www.dropbox.com/s/t4fq067kzx26mhw/project_paper.pdf

Como se puede ver en la URL es un documento archivado debido a que el sitio original es, por desgracia desapareció hace mucho tiempo y la herramienta de referencia en el papel con él :-(

Pero debe ser útil de todos modos, para entender lo que está pasando.

Notificación a el propietario de la ponencia: puse este papel porque no está disponible en la web y es una gran pieza de trabajo. Si es el propietario y tiene un problema con eso, por Favor póngase en contacto conmigo y voy a eliminar de inmediato - Gracias

Answer 2

Se asume que $p_i(x)$ es un payoff de una opción en particular. Usted puede tratar de reproducir el diagrama de usar un montón de opciones con las huelgas en los breakpoints (subyacente es inútil, porque su rentabilidad siempre se puede modelar mediante la compra y venta de un determinado call y put). A continuación, puede crear un sistema de k ecuaciones con n incógnitas (número de cada tipo de opción). Todas las demás cosas pueden ser fijos, como las huelgas en los breakpoints; todo a través de ATM se llama, todo lo que a continuación se pone.

$\sum w_i p_i(X) = Y$

donde $X$ es un punto de ruptura y $Y$ es el retorno a $X$; $w_i$ son los coeficientes usted está tratando de encontrar. Además, se necesitan dos puntos en cualquier punto a la derecha de la derecha del breakpoint y uno a la izquierda de la izquierda, de lo contrario no son la fijación de las laderas de la medida de OTM colas. Con todo, este es un sistema de ecuaciones lineales (porque $p_i(X)$ es 0, o algunos lineal de regreso si una opción es ITM) y, como tal, debe ser fácil de resolver. Como un parámetro adicional, para dar cuenta de dinero en efectivo que usted puede agregar otra misma variable para cada una de las ecuaciones - este será, básicamente, cambio de PnL hacia arriba o hacia abajo.

El problema es que el sistema descrito anteriormente no siempre tienen soluciones. Para asegurarte de que siempre tendrás en general, usted tendrá que incluir tanto pone y pide para cada uno de los breakpoints, o añadir el subyacente. Esto probablemente va a producir un número infinito de soluciones, pero eso es relativamente fácil de manejar. Estoy bastante seguro de que muchos estándar de la PnL se puede resolver sin esta enmienda.