L-infinito y débil-topología de estrella

Question

Mientras que la lectura de la economía de documentos, especialmente aquellos relacionados con la economía de la tierra, a menudo me encuentro con los términos $L^\infty$ y el "débil* topología". Parecen términos muy básicos, pero no pude encontrar una explicación básica de los mismos. Aquí es un típico párrafo que estoy tratando de descifrar (es a partir de la página 4 en la introducción de Una fundación de la ubicación de la teoría de la):

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Vamos a:

$$[0,\frac{1}{n}]\cup[\frac{2}{n},\frac{3}{n}]\cup[\frac{4}{n},\frac{5}{n}]\cup...\cup[\frac{n-2}{n},\frac{n-1}{n}]$$

$(n=1,2,...)$ representar una secuencia de productos de aumento de la utilidad. Si el indicador de las funciones de estos conjuntos están incrustados en $L^\infty$, con la débil* topología, entonces el límite es $\frac{1}{2}1_{[0,1]}$, la mitad del indicador de la función en el intervalo $[0,1]$. Esto, de hecho, es un límite natural que no está en el producto en el espacio.

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Así que mis preguntas son:

• Lo que es de $L^\infty$?
• ¿Qué es el "débil* topología"?
• ¿Cuál es el significado de "incrustado en $L^\infty$"?

NOTA: tengo algunas básico (de grado) conocimiento de la topología. He escuchado acerca de la "topología débil", pero nunca había oído hablar de los "débiles* topología". Estaré muy agradecido de una forma sencilla, intuitiva explicación que me ayudará a seguir leyendo!

Answer 1

$L^{\infty}$: la (de Banach, por lo general) espacio acotado medible funciones del modulo de la igualdad en casi todas partes. Como todos los espacios de funciones no implican holomorphic funciones, es realmente un espacio de clases de equivalencia.

débil-$^*$ topología: la topología de doble $X^*$ de cualquier espacio vectorial topológico $X$ inducida por el $(X, X^*)$de emparejamiento.

"incrustado en $L^{\infty}$": un (digamos) espacio vectorial topológico $Y$ se dice para ser incrustado en $L^{\infty}$ si hay un inyectiva lineal continua mapa de $Y$ a $L^{\infty}$.

(Este es el significado usual. En tu párrafo, "incrustado" sólo significa que la visualización de aquellos indicador de funciones como representantes de sus clases. El débil-$^*$ topología en $L^{\infty}$ está dada por la identificación $L^{\infty} = (C_0)^*$.)