Maximización de Sharpe con restricciones cuadráticas

Question

Al realizar la optimización de Sharpe

$$ \max_x \frac{\mu^T x}{\sqrt{x^T Q x}} $$

existe un truco común ( sección 5.2 ) para poner el problema en forma convexa. Se añade una variable $\kappa$ tal que $x = y/\kappa$ elija $\kappa$ s.t. $\mu^T y=1$ . Cambiar el problema al problema convexo simple

$$ \min_{y,\kappa} y^T Q y \; \text{where} \; \mu^T y = 1, \kappa > 0 $$

que es fácil de resolver.

Por desgracia, mi problema también tiene una restricción de segundo orden que se convierte en no convexa en $(y,\kappa)$ $$ x^T P x \leq \sigma^2 \implies y^T P y \leq \kappa^2 \sigma^2 $$

¿Existe algún truco para mantener este problema convexo y permitir el uso de algoritmos de programación cónica de segundo orden?

Answer 1

No existe una solución genérica. Sin embargo, las condiciones KKT son de las formas \begin{align*} \begin{cases} Qy + \lambda_1 \mu +\lambda_2 Py = 0,\\ \mu^T y = 1,\\ y^TPy \leq k^2 \sigma^2,\\ \lambda_2 \big( y^TPy - k^2 \sigma^2\big) = 0. \end{cases} \end{align*} En este caso, la condición $$\lambda_2 \big( y^TPy - k^2 \sigma^2\big) = 0 $$ significa que hay que considerar dos casos, es decir, el de la frontera $y^TPy = k^2 \sigma^2$ y el que está dentro del dominio $y^TPy < k^2 \sigma^2.$

En la frontera, es el problema estándar de Lagrange con las condiciones \begin{align*} \begin{cases} Qy + \lambda_1 \mu +\lambda_2 Py = 0,\\ \mu^T y = 1,\\ y^TPy = k^2 \sigma^2. \end{cases} \end{align*}

Dentro del dominio, las restricciones son \begin{align*} \begin{cases} Qy + \lambda_1 \mu = 0,\\ \mu^T y = 1,\\ y^TPy < k^2 \sigma^2. \end{cases} \end{align*}

La solución final $(y^T, k)$ es la que permite alcanzar el mínimo global.