La prueba de gamma fórmula de la ganancia

Question

http://www.volcube.com/resources/options-articles/gamma-hedging-trading-strategies-part-i/

Me gustaría han demostrado a mí la fórmula anterior, sobre todo porque no acabo de entenderlo. La fórmula es una aproximación de la ganancia de la gamma de comercio/gamma de cobertura, $$0.5 \Gamma (\Delta S)^2$$ Así que, mis preguntas son, ¿cómo demostrar que, y en segundo lugar, ¿qué significa exactamente por "fines de lucro"?

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Ejemplo:

Hoy en día, un CAJERO automático de 1 año, el 25% de la volatilidad de la llamada es comprado por 10, y nos corta $\Delta = 0.5$ en el subyacente, que es un valor de 100. Así que el trabajo que fuera, obtenemos el valor de la cartera $\Pi = 10 - 50 = -40$, nuestro valor de la cartera.

Algún tiempo más tarde, el punto que sube a 105. La llamada va a subir de valor, de 10 a 13.

Actualmente tenemos en cortocircuito $0.5$ de la subyacente, por lo que debemos de $0.5 \cdot 105 = 52.5$, por lo que tenemos $\Pi = -39.5$.

Así que la ganancia es de 0.5.

A continuación realizamos nuestra re-cobertura: si delta se mudó a partir de la 0.5 a 0.6, entonces necesitamos a corto 0.1 de la subyacente. Así, podemos agregar $-10.5$ a $\Pi$, yo.e, $\Pi = -50$.

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De dónde viene la fórmula de arriba vienen en la imagen de aquí?

Answer 1

Supongamos que usted compra un plain vanilla opción de llamada en el precio $V$ y el lugar en el $S$. Inmediatamente delta hedge comprar vender $\partial V / \S parcial$ unidades del activo subyacente.

El activo subyacente ahora instantáneamente saltos formulario de $S$ a $S' = S + \Delta$ S. El nuevo valor de la opción de compra es de $V'$. Su total de p&l

\begin{ecuación} \text{P&L} = V' - V - \frac{\partial V}{\partial S} \Delta S. \end{ecuación}

Puede expandir el cambio en el precio de la opción a la segunda orden

\begin{ecuación} V' = V + \frac{\partial V}{\partial S} \Delta S + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} (\Delta S)^2 + \mathcal{S} \left( (\Delta S)^3 \derecho). \end{ecuación}

La sustitución de los rendimientos de la espalda

\begin{ecuación} \text{P&L} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} (\Delta S)^2 + \mathcal{S} \left( (\Delta S)^3 \derecho). \end{ecuación}

Esto se visualiza en la figura a continuación representa. Ellos se basan en $T = 1 / 12$, $K = 100$, $S = 100$, $r = 0\%$, $\sigma = 20\%$. El azul (verde) de la línea es el p&l de la celebración de una larga (corta) de la posición en la opción de llamada (activo subyacente). La línea roja es el real de la cartera neta de p&l y el amarillo es el segundo orden de aproximación de este último con la gamma.