Argumentando la singularidad del equilibrio Bayes-Nash en un escenario de subasta

Question

En un entorno de subasta con valores interdependientes, dejemos que $ \theta_i $ denotan el tipo de jugador $i$ y $m_i$ el mensaje de ese jugador (una oferta, esencialmente). He calculado la mejor función de respuesta como: $$m_i^* = \theta_i + \gamma \sum_ {j \ne i} ( \theta_j -m_j)$$ Obviamente, entonces, el decir la verdad por todas las partes ( $m_k = \theta_k $ para todos $k$ ) es un BNE simétrico, independientemente de $ \gamma $ . También quiero argumentar que es el único BNE. Si $ \gamma = 1$ parece que habría BNE asimétrico si sólo hay dos jugadores en los que un jugador tiene un informe erróneo positivo ( $m_i - \theta_i $ ) equivaldría al informe negativo del otro jugador ( $ \theta_j - m_j$ ). Si $ \gamma <1$ parece que el BNE que dice la verdad es único, pero ¿cómo probaría eso?

Además, hasta ahora no he usado una suposición previa común. ¿Lo necesito aquí para argumentar la existencia del BNE que dice la verdad, o para argumentar su singularidad? Si es así, podemos suponer $ \theta_i $ se dibuja el I.I.D. uniformemente desde $[0,1]$ .

Answer 1

Deje que $BR=(BR_1,BR_2,BR_3,...)$ denotan el mejor mapeo de respuesta. Esto da un mapeo dado vector de mensaje $m$ . (Para cualquier $BR_i$ sólo los mensajes de no $i$ los jugadores son utilizados para derivar el mejor mapeo de respuesta).

Deje que $m^* = (m_1^*,m_2^*,m_3^*,...)$ denotan el equilibrio simétrico. Como es un equilibrio, para cualquier $i$ tienes $BR_i(m^*) = m_i^*$ así que $$ BR(m^*) = m^*. $$ Supongamos que tenemos un equilibrio que no dice la verdad $m'$ . Como esto es un equilibrio $$ BR(m') = m' $$ así que $$ \forall i \in N: m_i' = \theta_i + \gamma \sum_ {j \ne i} ( \theta_j -m_j'). $$ Reorganizar esto $$ \forall i \in N: 0 = \theta_i - m_i' + \gamma \sum_ {j \ne i} ( \theta_j -m_j'). $$ Si se suman todas las ecuaciones, se obtiene \begin {eqnarray*} 0 & = & \sum_i ( \theta_i - m_i') + \gamma \sum_i \sum_ {j \ne i} ( \theta_j -m_j') \\ 0 & = & \sum_i ( \theta_i - m_i') + \gamma \cdot (n-1) \cdot \sum_i ( \theta_i - m_i') \\ 0 & = & (1 + \gamma \cdot (n-1)) \cdot \sum_i ( \theta_i - m_i') . \end {eqnarray*} Hay dos maneras de que esto pueda aguantar. O bien $ \sum_i ( \theta_i - m_i') = 0$ o $ \gamma = - \frac {1}{n-1}$ .

Caso 1. Supongamos que $ \sum_i ( \theta_i - m_i') = 0$ . Entonces desde \begin {eqnarray*} m_i' & = & \theta_i + \gamma \sum_ {j \ne i} ( \theta_j -m_j') \\ m_i' - \theta_i & = & \gamma \sum_ {j \ne i} ( \theta_j -m_j') \\ (m_i' - \theta_i ) - \gamma \cdot (m_i' - \theta_i ) & = & \gamma \cdot ( \theta_i - m_i') + \gamma \sum_ {j \ne i} ( \theta_j -m_j') \\ (1 - \gamma ) \cdot (m_i' - \theta_i ) & = & \gamma \sum_ {j} ( \theta_j -m_j') = 0. \end {eqnarray*} En el equilibrio de la verdad esto es cierto para todos $i \in N$ . Si $ \gamma = 1$ los equilibrios no verídicos también son posibles para cualquier número de jugadores, por ejemplo. $n-1$ los jugadores que reportan su tipo $+1$ y un jugador reportando su tipo $-n+1$ . Si $ \gamma < 1$ y el equilibrio no dice la verdad, entonces esto no es posible.

Caso 2. Supongamos que $ \gamma = - \frac {1}{n-1}$ .
Deje que $x_i$ denotan $ \theta_i - m_i'$ así que el sistema de ecuaciones $$ \forall i \in N: 0 = \theta_i - m_i' + \gamma \sum_ {j \ne i} ( \theta_j -m_j') $$ se convierte en $$ \forall i \in N: 0 = x_i + \gamma \sum_ {j \ne i} x_j. $$ Para $ \gamma = - \frac {1}{n-1}$ la representación matricial de este sistema de ecuaciones es invertible, por lo que sólo hay una única solución, y $ \forall i: x_i = 0$ es claramente una solución. Esto significa que el único equilibrio es el equilibrio que dice la verdad.