¿Cómo se calcula el capital pagado en una hipoteca?

Question

Estoy buscando una ecuación para averiguar el capital actual de una hipoteca. Tengo las siguientes variables:

• n periodos
• importe del pago mensual
• tipo de interés de la hipoteca

Me gustaría saber cuánto tendría de capital pagado contra la hipoteca después de n períodos.

Answer 1

Estas respuestas son muy buenas y no quiero quitarles detalle, pero vi que en un comentario mencionaste que estabas buscando una solución de Google Sheets para esto.

Una solución fácil de Google Sheets para el principal acumulado pagado es utilizar el \=CUMPRINC función.

Ejemplo: Préstamo de 500.000 $, interés del 5%, plazo de 20 años, determinar el capital acumulado pagado después de 5 años.

Fórmula: =CUMPRINC(0.05/12,20*12,500000,1,5*12,0)

Resultado: $-82,725.68

Answer 2

La pregunta es: "Me gustaría saber cuánto tendría de capital pagado contra la hipoteca después de n períodos".

No está muy claro si quieres el capital reembolsado o el capital restante, así que aquí tienes las fórmulas para el capital restante en el mes n, el capital reembolsado en el mes n y el capital acumulado reembolsado en el mes n.

p[n] = (d + (1 + r)^n (r s - d))/r

pr[n] = (d - r s) (r + 1)^(n - 1)

accpr[n] = (d - r s) ((1 + r)^n - 1)/r  

donde

p[n] is the principal remaining in month n, i.e the balance
pr[n] is the principal repayment in month n
accpr[n] is the accumulated principal repaid in month n

s is the initial loan principal
r is the monthly interest rate i.e. nominal annual rate ÷ 12
d is the regular monthly payment

Ejemplo

Tomando un préstamo de 1000 libras a 3 años con un interés del 10% mensual (bastante alto, pero es sólo un ejemplo), la devolución mensual d por fórmula estándar es

s = 1000
r = 0.1
n = 36

d = r s/(1 - (1 + r)^-n) = 103.34306381837332

Con estas cifras se calcula el capital restante, es decir, el saldo:

s = 1000
r = 0.1
d = 103.34306381837332

n = 36
p[n] = (d + (1 + r)^n (r s - d))/r = 0 as expected

Parcela de capital restante en el plazo de 3 años

p[n] = (d + (1 + r)^n (r s - d))/r para n = 0 a n = 36

Lo mismo ocurre con el cálculo de los reembolsos del principal:

Parcela de reembolso del principal durante el plazo de 3 años

pr[n] = (d - r s) (r + 1)^(n - 1) para n = 1 a n = 36

Los reembolsos de capital acumulados después de 36 meses:

n = 36
accpr[36] = (d - r s) ((1 + r)^n - 1)/r = 1000

en comparación con los reembolsos totales de 36 d = 3720.35 .

Ejemplo de tabla de amortización

month  interest   principal repayment =          accumulated     balance
n      at 10%     payment - interest repayment   princ. repmt.   p[n]
0                                                                1000
1      100        103.34306 - 100 = 3.34306        3.34306       996.657
2      99.6657    103.34306 - 99.6657 = 3.67737    7.02043       992.98
3      99.2979    103.34306 - 99.2979 = 4.04511    11.0655       988.934
...
35     17.9356    103.34306 - 17.9356 = 85.4075    906.052       93.9482
36     9.39482    103.34306 - 9.39482 = 93.9482    1000          0

Derivación

El saldo de un préstamo sigue esta ecuación de recurrencia.

p[n + 1] = p[n] (1 + r) - d

donde

p[n] is the balance of the loan in month n
r is the monthly interest rate
d is the regular monthly payment

Esto se puede resolver así (usando Mathematica en este caso).

RSolve[{p[n + 1] == p[n] (1 + r) - d, p[0] == s}, p[n], n]

donde s is the initial loan principal

que se puede encontrar en p[n_] := (d + (1 + r)^n (r s - d))/r

Esta notación expresa una fórmula para el saldo en el mes n, que puede utilizarse en una función para el reembolso del principal pr (es decir, el reembolso regular menos el pago de los intereses del saldo del mes anterior).

pr[n_] := d - (p[n - 1] r)

Combinando estas expresiones se obtiene una expresión en términos de d, r, s y n.

pr[n_] := (d - r s) (r + 1)^(n - 1)

Después de n períodos el principal acumulado reembolsado es:

accpr[n] = (d - r s) (r + 1)^(k - 1) para k = 1 a k = n

por inducción, accpr[n] = (d - r s) ((1 + r)^n - 1)/r

Anexo

Los resultados anteriores pueden obtenerse de forma más sencilla utilizando el fórmula estándar para el valor actual de una anualidad ordinaria , tratando la parte restante de la hipoteca como un pequeño préstamo en sí mismo.

Por ejemplo, obtener los valores del mes 28.

s = 1000
r = 0.1
n = 36

P = r s/(1 - (1 + r)^-n) = 103.34306381837332

El saldo que queda en el mes 28

x = 36 - 28 = 8

balance = P(1 - (1 + r)^-x)/r = 551.328

principal paid = principal - balance = 448.672

Lo que concuerda con la formulación anterior

accpr[28] = 448.672

y como Wick proporciona para Excel y Google Sheets

=CUMPRINC(0.1,36,1000,1,28,0)

-448.672

Answer 3

Suponiendo que el importe original es C . Entonces, en el momento del Nº pago esta deuda original habrá crecido por el interés compuesto. el nuevo valor será :

Nuevo Principal = C x (1+i)^n

Por supuesto, también has estado haciendo pagos; constituyen una anualidad ordinaria, y el valor futuro viene dado por:

Por lo tanto, basta con restar el valor futuro de los pagos del valor futuro de la deuda original para obtener el saldo adeudado después del enésimo pago...

Answer 4

Fórmulas de amortización de hipotecas

Si:

N = original length of loan, in periods (como 360 meses = 30 años * 12 meses / año)
n = number of complete periods elapsed (como 0 al inicio del préstamo, o N después de realizar el último pago programado regularmente)
APR = annual percentage rate of loan (sin composición)
r = interest rate per period (como APR * 1 año / 12 meses)
P = principal of loan at time n
P0 = initial principal of loan (en el momento n = 0)
M = portion of monthly payment that goes toward principal and interest

Entonces:

u = N - n = number of periods remaining (como N al inicio del préstamo, o 0 después de realizar el último pago programado regularmente)
z = 1 + r (factor de composición por período)
P0 = M * (1 - z^(-N)) / r
P = M * (1 - z^(-u)) / r
. = P0 * (1 - z^(-u)) / (1 - z^(-N))
P0 - P = M * (z^(-u) - z^(-N)) / r
. = M * (z^(n-N) - z^(-N)) / r
. = M * (z^n - 1) * (z^(-N)) / r

Obsérvese que ese número de períodos restantes ( u ) disminuye en 1 cada periodo en el que realiza su pago regular.

Cómo obtener los factores de interés para los pagos únicos :

Supongamos que queda un periodo en una hipoteca. Supongamos que z no es igual a cero. Entonces:
M = P * z
P = M / z

Retrasar cada pago de una hipoteca en 1 periodo reduce el valor inicial de la hipoteca en un factor de z .

Retrasar cada pago de una hipoteca por u períodos reduce el valor inicial de la hipoteca en un factor de z^u . En otras palabras, aumenta el valor inicial en un factor de z^(-u) .

z^u es conocido como el Valor futuro Factor de interés . Si dejas que un dólar gane interés compuesto (al tipo r por período), tendrá z^u dólares después u periodos.

z^(-u) es conocido como el Valor actual Factor de interés . Si dejas que z^(-u) dólares ganan un interés compuesto (al tipo r por período), tendrá un dólar después de u periodos.

Cómo obtener el factor de interés del valor actual de una anualidad
(como se utiliza en las fórmulas de amortización de la hipoteca):

Supongamos que existe una hipoteca de "sólo intereses". Los pagos periódicos son exactamente suficientes para cubrir los intereses, pero el capital nunca cambia. Entonces:
M = P * r
P = M / r

Supongamos que dividimos los pagos de una hipoteca de "sólo intereses" en dos partes: La primera u pagos, y todos los pagos restantes.

Inmediatamente después de la u th pago, el valor de "todos los pagos restantes" será P . Así, el valor inicial (en el momento 0 antes de que cualquiera de los u períodos) de "todos los pagos restantes" es P * z^(-u) . Entonces:
P = M / r = valor inicial de la "hipoteca de sólo interés" completa
P * z^(-u) = M * z^(-u) / r = valor inicial de "todos los pagos restantes"
P - P * z^(-u) = valor de una hipoteca que ha u periodos restantes
. = M / r - M * z^(-u) / r
. = M * (1 - z^(-u)) / r

Supongamos que en lugar de tener P sea el valor de la "hipoteca de sólo interés" completa, decidimos tener P ser el valor de una hipoteca que tiene u períodos restantes. Entonces (para la nueva definición de P ):
P = M * (1 - z^(-u)) / r

Supongamos que estamos en el tiempo n = 0 y u = N . Entonces el valor inicial de una hipoteca con N períodos es:
P0 = M * (1 - z^(-N)) / r

Esta fórmula se conoce como Factor de interés del valor actual de una anualidad .

Q.E.D.