Las identidades de Roy para funciones de utilidad Stone-Geary

Question

Tengo problemas para mostrar la identidad de Roy para la siguiente función de utilidad Stone-Geary:

$$U(x)=\prod_{i=1}^n\left(x_i-\gamma_i\right)^{\beta_i}$$

donde $\sum \beta_i=1$ y $\gamma_i$ es el consumo mínimo de $x_i$.

Mostré que la demanda marshalliana (que confirmé usando múltiples fuentes) es

$$x_i=\gamma_i+\frac{\beta_i\left(I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j\right)}{p_i}$$

Por lo tanto, la función de utilidad indirecta es

$$V(x)=\prod_{i=1}^n\left(\frac{\beta_i \left(I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j \right)}{p_i} \right)^{\beta_i}$$

Apliqué una transformación monótona para simplificar la función de utilidad indirecta:

$$W(x)=\sum_{i=1}^n\beta_i\left(\left(\ln(\beta_i)+\ln \left(I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j \right)\right)-\ln(p_i)\right)$$

Por lo tanto,

$$\frac{\delta W}{\delta p_i}=\frac{-\beta_i\gamma_i}{I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j}-\frac{\beta_i}{p_i}$$

$$\frac{\delta W}{\delta I}=\frac{\beta_i}{I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j}$$

$$-\frac{\delta W / \delta p_i}{\delta W / \delta I}=\gamma_i+\frac{I-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j}{p_i}$$

Básicamente, como puedes ver, algo no cuadra: el $\beta_i$ falta del numerador. Así que, la desigualdad de Roy no se verifica. ¿Dónde me equivoqué?

(Nota: También lo intenté sin la transformación. Este es un proceso mucho más tedioso pero arrojó la misma respuesta; el $\beta_i$ seguía faltando)

Answer 1

Monir tiene razón al señalar en los comentarios que $\ln$ no es una transformación lineal. Sin embargo, es una transformación creciente, por lo que no debería importar siempre y cuando

$$\sum_{i=1}^n p_i \gamma_i < I$$

En cualquier caso, tu error está en las derivadas que encuentras. Aquí están las expresiones correctas:

$$\frac{\partial W}{\partial p_i} = -\gamma_i \sum_{j=1}^n \frac{\beta_j}{I - \sum_{k=1}^n p_k \gamma_k} - \frac{\beta_i}{p_i} = -\frac{\gamma_i}{I - \sum_{j=1}^n p_j \gamma_j} - \frac{\beta_i}{p_i}$$

$$\frac{\partial W}{\partial I} = \sum_{j=1}^n \frac{\beta_j}{I - \sum_{k=1}^n p_k \gamma_k} = \frac{1}{I - \sum_{j=1}^n p_j \gamma_j}$$

La identidad de Roy te da la demanda marshaliana que has derivado inicial y correctamente.