Transformación monótona de la utilidad

Question

Hemos aprendido que cualquier "transformación monótona estrictamente positiva" de las funciones de utilidad está bien, siempre que conserven la clasificación de las opciones que implican las preferencias subyacentes.

Considere $U(x, y) = (x/y)^\alpha$

La derivada cruzada es $\frac{\partial^2}{\partial y \partial x} U(x,y) = -\alpha^2 (\frac{x}{y})^{\alpha - 1}$

Ahora, considera la transformación monótona $V(x,y) = \log U(x,y) = \alpha \log x - \alpha \log y$ . La derivada cruzada de $V$ es $0$ .

La derivada cruzada incorpora información importante sobre cómo la clasificación de las opciones de $x$ cambia, como nosotros cambiamos $y$ . Está claro que estas dos derivadas cruzadas diferentes no pueden generarse a partir de la misma clasificación de preferencias subyacente, ¿o me equivoco?

Answer 1

La preservación de la clasificación está por encima del consumo paquetes , no los bienes individuales. Por lo tanto, el una y única La cuestión es si la clasificación de los paquetes $(x_i,y_i),\; (x_k,y_k); \forall i,k$ se conserva o no.

Si las preferencias son racionales (completas y transitivas), y continuas, entonces pueden ser representadas por una función de utilidad continua. Por lo tanto, si esto se cumple y

$$(x_i,y_i)>_{pr}\; (x_k,y_k) \implies \exists \;U, U_i > U_k$$

El logaritmo es una transformación estrictamente monótona de cualquier función susceptible de ella como hecho matemático, independientemente de para qué usemos la función. Por tanto, se deduce que $$U_i > U_k \implies \ln U_i > \ln U_k ,\; \forall i,k$$

y se mantiene la clasificación de los paquetes. El hecho de que debido a la transformación perdamos o no otra información (que quizá hubiéramos deseado conservar) no afecta al teorema de la representación/transformación.