La función de producción cóncava implica una función de costes convexa

Question

Supongamos que tenemos una función de producción creciente $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$

Ahora, supongamos que esta función de producción es cóncava y que el precio del insumo z es fijo (es un caso de un solo insumo y un solo producto). Quiero mostrar que esto implica la correspondiente función de costes $C^f(w,q)$ es convexo.

Mis pensamientos:

dejar $z,z' \in \mathbb{R^+}$ donde W.L.O.G $z'>z$ y que $f(z)=q$ y $f(z')=q$

Desde $f$ es cóncavo, tomamos $\alpha \in [0,1]$ $s.t$ :

$$f(\alpha z +(1- \alpha)z') \geq \alpha f(z) +(1- \alpha)f(z')$$

dejar $\alpha z +(1- \alpha)z'=z''\in \mathbb{R^+}$ donde por necesidad $z\leq z'' \leq z'$

Dado que el coste de $z=w$ se fija en algún $w \in \mathbb{R^+}$

podemos reescribir nuestra función de costes como $C^f(q)$ que es convexo si para $\alpha \in [0,1]$ :

$$C(\alpha q +(1- \alpha)q') \leq \alpha c(q) +(1- \alpha)c(q')$$

Ahora bien, como $f$ es cóncavo, no puede ser que $f$ experimenta rendimientos crecientes a escala. Entonces $f$ tiene rendimientos constantes a escala o rendimientos decrecientes a escala.

Entonces:

Desde $z''$ es claramente factible entonces tenemos eso:

$$C(w,q'') \leq w*z''$$ $$=\alpha w*z + (1- \alpha) w*z'$$ $$= \alpha c(w,q) + (1- \alpha) c(w,q')$$

¿Le parece correcto?

Answer 1

Dado el precio fijo de los insumos $w$ la función de coste puede escribirse como $$ C(q)=f^{-1}(q)\times w $$ donde $f^{-1}$ es la inversa de la función de producción $f$ . De la discusión aquí se puede concluir que la inversa de una función cóncava estrictamente creciente es convexa. Por lo tanto, $C(q)$ también es convexo.

Volviendo a su planteamiento, tal vez le convenga tenerlo claro. Que $q''=\alpha q + (1-\alpha)q'$ , $f(z)=q$ , $f(z')=q'$ y $f(z'')=q''$ Entonces $$ \begin{align} f(z'')&=&q''\\ &=&(\alpha q + (1-\alpha)q')\\ &=&\alpha f(z)+(1-\alpha) f(z')\\ &\leq&f(\alpha z +(1-\alpha z')) \end{align} $$ Entonces $f(z'')\leq f(\alpha z +(1-\alpha z'))$ lo que implica que $\alpha z +(1-\alpha z')\geq z''$ desde $f$ es (estrictamente) creciente. Por lo tanto, $$ z''w=C(q'')\leq \alpha C(q)+ (1-\alpha) C(q') $$

Answer 2

La intuición económica es clara: si la función de producción de un solo insumo es cóncava, el producto marginal es decreciente. Por tanto, para aumentos iguales del insumo único (y dado el coste unitario fijo), digamos unidad por unidad, la producción aumenta cada vez menos, mientras que el coste aumenta igualmente. Si se invierte, para aumentos secuenciales de la producción por unidad, el coste aumenta cada vez más por unidad de producción incremental. Esta es la descripción primitiva de una segunda derivada estrictamente positiva, que es la condición de una función estrictamente convexa.