Tenga en cuenta que usted puede entender la $\Delta$ como un "operador" que actúa en $r$. Así que acaba de actuar en $r$ dos veces:
$$\Delta^2 r_t = r_t - 2 r_{t-1} + r_{t-2}. $$
De hecho, si usted escribe el $r$ como un vector, $r = (r_1, r_2, \ldots, r_N)$, entonces $\Delta$ es un $N\times N$ matriz con los elementos de $\Delta_{i,j} = \delta_{i,j} - \delta_{i-1,j}$.
La AR(2) el modelo puede ser escrito como
$$ r_t - \phi_1 r_{t-1} - \phi_2 r_{t-2} = \epsilon_t.$$
Podemos elegir $a, b$ y $c$ que
$$ a \Delta^2 r_t + b \Delta r_t +c r_{t-2} = r_t - \phi_1 r_{t-1} - \phi_2 r_{t-2} ,$$
lo que da $a= 2-\phi_1$, $b=\phi_1 - 1$ y $c = \phi_1 - \phi_2 -2$. Así que la AR(2) la ecuación puede ser escrita como
$$ (2-\phi_1) \Delta^2 r_t + (\phi_1 - 1) \Delta r_t = -(\phi_1 - \phi_2 -2) r_{t-2}+ \epsilon_t.$$
No es del todo trivial para tomar el límite a la SDE de aquí... eso es debido a que los coeficientes de $\Delta^2 r_t$ y $\Delta r_t$ son de la misma "dimensión" (del físico l33t sp33k), pero las diferencias no son, porque son de orden diferente. De hecho, creo que el límite sólo existe (o más bien, converge a una de segundo orden SDE) sólo si se sustituyen los $\epsilon_t$ con, por ejemplo, $\epsilon_t - \epsilon_{t-1}$, es decir, considerar un ARMA(2,2) modelo en lugar de AR(2), pero se está haciendo tarde... yo tal vez editar/ agregar aquí algo más que mañana, si hay interés(?)
EDIT: por cierto, puede utilizar OLS con SDEs sin poner un $\Delta t = 1$ y/o la escritura de la SDE como un modelo de AR, etc. Sólo se debe multiplicar el (original) ecuación de $r_t$, tomar la expectativa de $\mathbb E()$ y reemplazar con la media de la muestra :) Que da una estimación de la deriva del término. Hacer lo mismo pero se multiplican con $\Delta r_t$ para obtener una estimación de $\sigma$.
COSAS ADICIONALES:
Así como Richard comentó sobre la cuestión, es probablemente más fácil comenzar con un SDE. ASÍ que vamos a pensar de la siguiente ecuación:
$$ \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + a \frac{d x(t)}{dt} + c x(t) = \sigma \eta(t)$$
con $\mathbb E (\eta(t) \eta(t')) = \delta (t-t')$, con la delta de Dirac de la función $\delta(t)$. Aunque los matemáticos no como este, este es un lugar bien definido de 2º orden SDE describir un oscilador armónico (para $c>0$) con un lineal de arrastre (para $a>0$) y al azar patadas por $\eta(t)$. Ahora discretizar dejando $dt \a \Delta t$ etc. y multiplicar la ecuación por $\Delta t ^2$ (y denotan $X(t) = r_t$). Tenemos
$$\Delta^2 r_t + a \Delta t \Delta r_t + b \Delta t^2 r_t = \sigma \Delta t^2 \eta(t).$$
La clave para llegar a un AR(2) el modelo es la observación de que, formalmente hablando, $\delta(t-t') = \frac{1}{dt} \delta_{t,t'}$ (esto se puede verificar por la delta de Dirac y de definición de las sumas de Riemann). Entonces $\Delta W_t := \Delta t \eta(t)$ es un estándar de ruido blanco, y por la definición de nuevas variables $\tilde a = a \Delta t, \tilde b = b \Delta t^2$ y $\tilde \sigma = \sigma \Delta t$, obtenemos
$$\Delta^2 r_t + \tilde a \Delta r_t + \tilde b r_t = \tilde \sigma \Delta W_t.$$
De esto usted puede ir a la AR(2), como se describe anteriormente. Así que si usted comienza a partir de este eqution con el $\tilde a, \tilde b, \tilde \sigma$, si no estas rescalings, la SDE límite no existe porque los coeficientes de volar! Así por ejemplo, $\tilde de$ ha para acercarse a cero linealmente en $\Delta t$ cuando $\Delta t \to 0$.
EDIT: y olvidarme de mi blabberings acerca de ARMA...
