Estoy asumiendo que los siguientes hechos que no requieren de pruebas para los fines de esta cuestión.
Hecho 1: Vamos a $h_n$ ser una secuencia en $\mathbb{R}^K$ tal que $\lim_{n\rightarrow \infty} h_n =h\in \mathbb{R}^K$. Luego, por cada $i\in \{1,2,\ldots,K\}$, tenemos $h^i_n\rightarrow h^i$.
Hecho 2: Vamos a $z_n$ y $q_n$ ser la secuencia en $\mathbb{R}$ tal que $\lim_{n\rightarrow \infty} z_n =z\in \mathbb{R}$ y $\lim_{n\rightarrow \infty} q_n =q\in \mathbb{R}$. A continuación,
i) $\lim_{n\rightarrow \infty}(z_n\pm q_n)=z\pm q$
ii) $\lim_{n\rightarrow \infty}(z_n \times q_n)=z\veces q$
Hecho 3: Vamos a $z_n$ en $\mathbb{R}$ tal que para cada $n$, $z_n\leq a\in \mathbb{R}$ y $\lim_{n\rightarrow \infty} z_n =z$. Entonces, $z\leq un$.
Definición: Una correspondencia $G:X\rightrightarrows de $ Y es superior hemicontinuous en $x\in X$ si por cualquier barrio de $V$ de $G(x)$. Existe un entorno $U$ de $x$ tal que para todo $x$ en $U$, $G(x')\subseteq V$.
A diferencia de las observaciones anteriores, el siguiente hecho exige la prueba.
Hecho 4: Dejar $G:X\rightrightarrows Y $ existir una correspondencia. Si por cada $x_n\rightarrow x\in X$ y $y_n\in G(x_n)$ existe una larga $y_{n_k}$ de $y_n$ con $y_{n_k}\rightarrow$ y y $y\in G(x)$, entonces $G$ es superior hemicontinuous. Además, si $G$ es compacto valorados, entonces el recíproco también es cierto.
Ahora, vamos a ir de nuevo a su pregunta. Vamos $(p_n,w_n)$ ser una secuencia en $\mathbb{R}^{L+1}_{++}$ tal que $\lim_{n\rightarrow \infty} (p_n,w_n) =(p,w)\in \mathbb{R}^{L+1}_{++}$. Por otra parte, vamos $x_n\in B(p_n,w_n)$ para todo $n$.
Vamos a $w^\ast = \sup_n w_n$. Desde $w_n\rightarrow w\in \mathbb{R}_{++}$, debe ser cierto que $w^\ast \in \mathbb{R}_ {++}$, porque de lo contrario podríamos haber creado una larga $w_{n_k}$ de $w_n$ de los cuales $w_{n_k}\rightarrow\infty$, que estaría en contradicción con $w_n\rightarrow w$. Argumentos similares implicaría que $p^{\ast} = \min_i( \inf_n p^i_n)>0$ desde $p^n\rightarrow p\in\mathbb{R}_{++}^L$.
Las observaciones anteriores implican que para todo $n$ y para la totalidad de los $i$ tenemos $x_n^i\leq w^\ast/p^\ast$. Por lo tanto, la secuencia de $x_n$ es acotada. Por Bolzano-Weierstrass Teorema, $x_n$ ha convergente larga $x_{n_k}$ con $x_{n_k}\rightarrow x$. A partir de aquí, vamos a suprimir el subíndice $k$.
Desde $x_n\in B(p_n,w_n)$ tenemos $\sum_i p_n^i\times x_n^i-w_n\leq 0$. Vamos a $c_n = \sum_i p_n^i\times x_n^i$. Por el hecho 1, tenemos $p_n^i\rightarrow p_i$ y $x_n^i\rightarrow x_i$ por cada $i$, y por el hecho 2, tenemos $c_n=\sum_i p_n^i\times x_n^i\rightarrow p\cdot x$.
Por el hecho 2, $c_n-w_n\rightarrow (p\cdot x-w)$. Hecho 3 implica que $(p\cdot x-w)\leq 0$, que a su vez implica que $x\in B(p,w)$. Esto concluye la prueba de que el presupuesto de la correspondencia es superior hemicontinuous.
Original (incorrecto) Respuesta
La siguiente respuesta ha sido publicado anteriormente. Sin embargo, me di cuenta de que hay un error con este. Estoy teniendo este aquí, ya que la pregunta original se había estado preguntando específicamente sobre cómo Bolzano-Weierstrass teorema es relevante para la pregunta y la comparación de esta respuesta incorrecta y la versión correcta muestra por qué necesitamos este teorema.
Definición: Una correspondencia $G:X\rightrightarrows de $ Y es superior hemicontinuous en $x\in X$ si para todas las secuencias de $x_n\in X$ con $x_n\rightarrow x$ para todo $y_n\in G(x_n)$ con $y_n \rightarrow y \in S$ tenemos $y\in G(x)$.
Ahora, vamos a ir de nuevo a su pregunta. Vamos $(p_n,w_n)$ ser una secuencia en $\mathbb{R}^{L+1}$ tal que $\lim_{n\rightarrow \infty} (p_n,w_n) =(p,w)$. Por otra parte, vamos $x_n\in B(p_n,w_n)$ para todo $n$, con $x_n\rightarrow x$.
Desde $x_n\in B(p_n,w_n)$ tenemos $\sum_i p_n^i\times x_n^i-w_n\leq 0$. Vamos a $c_n = \sum_i p_n^i\times x_n^i$. Por el hecho 1, tenemos $p_n^i\rightarrow p_i$ y $x_n^i\rightarrow x_i$ por cada $i$, y por el hecho 2, tenemos $c_n=\sum_i p_n^i\times x_n^i\rightarrow p\cdot x$.
Por el hecho 2, $c_n-w_n\rightarrow (p\cdot x-w)$. Hecho 3 implica que $(p\cdot x-w)\leq 0$, que a su vez implica que $x\in B(p,w)$. Esto concluye la prueba de que el presupuesto de la correspondencia es superior hemicontinuous.
