De la cartera VaR con Cópula?

Question

Deje que la cartera está dado por: $$X=X_1+X_2$$ $(X_1,X_2)$ son dependientes a través de una Cópula función $C(u_1,u_2)$, tal que la distribución conjunta está dada por: $$F(x_1,x_2)=C(F(x_1),F(x_2))$$

¿Cuál es el VaR de esta cartera?

Generalmente VaR es la inversa cuantil: $VaR_\alpha=F^{-1} (_X(\alpha)$.

No estoy seguro de cómo determinar en este caso multivariante?

Answer 1

Usted realmente no tiene un multivariante de caso: sólo podemos definir VaR (en su sentido usual de la palabra) para un uno-dimensional de salida. Recordemos que $$ \operatorname{VaR}_\alpha(X) = \inf\{v:F_X(v)\geq \alpha\} $$ y puesto que, en su caso $X = X_1+X_2$ solo necesitas calcular $F_X$ en $X_1$ y $X_2$. Para la notación de derivadas parciales, me denotar el genérico de las variables de la función de cópula por $u_1$ y $u_2$. $$ F_X(v) = \mathbb P(X_1+X_2\leq v) = \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial C}{\partial u_1}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(v-x_1)\derecho)\mathrm dF_{X_1}(x_1). \etiqueta{1} $$ Como usted puede calcular o estimar esta función, usted puede obtener un valor/estimación del VaR. La fórmula de $(1)$ puede ser obtenida de la siguiente manera: $$ \begin{align} F_X(v) &= \mathbb P(X_1+X_2\leq v) = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dx_1 \int\limits_{-\infty}^{v-x_1}\frac{\partial^2 C}{\partial u_1\partial u_2}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(x_2)\derecho)F'_{X_1}(x_1)F'_{X_2}(x_2)\mathrm dx_2 \\ &= \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dx_1 \int\limits_{-\infty}^{v-x_1}\frac{\partial}{\partial x_2}\left(\frac{\partial C}{\partial u_1}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(x_2)\derecho)F'_{X_1}(x_1)\derecho)\mathrm dx_2 \\ &= \int\limits_{-\infty}^\infty \left.\frac{\partial C}{\partial u_1}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(x_2)\derecho)F'_{X_1}(x_1)\derecho|_{x_2=-\infty}^{x_2=v-x_1}\mathrm dx_1 \\ &= \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial C}{\partial u_1}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(v-x_1)\derecho)F'_{X_1}(x_1)\mathrm dx_1 \\ &= \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial C}{\partial u_1}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(v-x_1)\derecho)\mathrm dF_{X_1}(x_1). \end{align} $$ Para las derivadas parciales de la notación, considere el siguiente ejemplo. Si $g(u_1,u_2) = u_1 + u_2$ entonces $$ \frac{\partial }{\partial u_1}g(x_1^2,x_2^2) = 1,$$ $$ \frac{\partial}{\partial x_1}g(x_1^2,x_2^2) = 2x_1. $$