`Nash función de bienestar social con utilidades exponenciales negativas`

Question

Tengo una pregunta sobre el Nash-SWF. Normalmente se define como el producto de las utilidades individuales, es decir, $$ NSWF:=u_1(x_1) \cdot u_2(x_2) \cdot u_3(x_3) \cdot ... $$ Para que esto tenga sentido, las utilidades individuales están restringidas a ser siempre positivas. ¿Hay alguna forma de ajustar el Nash-SWF para que funcione con funciones de utilidad que siempre son negativas, como $-e^{-ax}$? Lo que significa que todos los individuos tienen la misma función de utilidad que es $-e^{-ax}$.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Estoy completamente de acuerdo con @FooBar. Por supuesto, la función de utilidad puede ser negativa en parte de su rango. Conceptualmente, uno podría invocar el argumento de la cardinalidad vs. la ordinalidad como respuesta a tu pregunta. Creo que tu problema es el siguiente:

$$ \ max\, SWF=u(x_{1})\times u(x_{2})\times...\times u(x_{N}) \ s.t \ f(x_{1}....x_{N})\leq g \ $$

La(s) restricción(es) pueden ser alguna restricción de recursos. Lo único que importa aquí es que el SWF cumpla con las propiedades normales asociadas con la existencia de un máximo en el conjunto de restricciones (puedes invocar aquí las suposiciones del Teorema de Weierstrass). Además, debes verificar las Condiciones Suficientes de Segundo Orden (en este caso la negatividad definitiva del Hessiano Bordes) para un máximo. El valor de la función de bienestar en sí mismo es irrelevante siempre y cuando sea un máximo en el conjunto de restricciones.