¿Implica una transformación monótona de una función de utilidad homotética que la relación de preferencia en el conjunto de paquetes de consumo siga siendo homotética?

Question

¿Implica una transformación monótona de una función de utilidad homotética que la relación de preferencia en el conjunto de paquetes de consumo sigue siendo homotética?

Obviamente, si una función de utilidad en un conjunto de paquetes de consumo es homotética, entonces la relación de preferencia también es homotética.

Answer 1

Sí. Sabemos que una transformación monótona de una función de utilidad sigue representando las mismas preferencias y como la antigua función de utilidad representaba preferencias homotéticas, la nueva también lo hace.

Como ejemplo sencillo, podrías ver funciones de utilidad de Cobb-Douglas de la forma $u(x,y) = a\left(x y\right)^\alpha$. Para $\alpha = \frac12$ la función de utilidad es homogénea de grado 1, pero para cada $\alpha,a>0$, la relación de preferencia es homogénea de grado 1.

Nunca utilizamos homotético como una propiedad de la función de utilidad para responder tu pregunta (ya que funciona para cada función de utilidad). Una función de utilidad homotética no está muy claramente definida, he visto dos versiones diferentes:

1. Homotético como un nombre diferente para homogéneo de grado 1
2. Una función de utilidad homotética es una función de utilidad que representa una relación de preferencia homotética.

Lo que significa que, con la definición 2, las funciones de utilidad de Cobb-Douglas con pesos iguales siempre son homotéticas, con la definición 2 solo algunas de ellas lo son: $$u(tx,ty) = (tx)^\frac12 (ty)^\frac12 = t xy = t u(x,y)$$ y algunas no lo son $$u(tx,ty) = (tx) (ty) = t^2 xy \neq t u(x,y)$$