A menudo, cuando leo sobre la fijación de precios de las opciones (y/o los griegos de las opciones) surge continuamente root cuadrada del tiempo. ¿Cuál es la justificación matemática para que esto siga apareciendo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para cualquier proceso con incrementos independientes, por el propio hecho de la independencia estadística la varianza de $x_{t3}-x_{t1}$ va a ser la suma de las varianzas de $x_{t2}-x_{t1}$ y $x_{t3}-x_{t2}$ para $t1\leq t2 \leq t3$ . Muchos procesos tienen incrementos independientes, incluyendo ABM, GBM, Poisson, etc. Entonces, si se añade un supuesto de homogeneidad (los parámetros del proceso no cambian con el tiempo) se obtiene una proporcionalidad de la varianza a la longitud del intervalo de tiempo y, por tanto, una proporcionalidad de la desviación estándar a $\sqrt t$ .
Dan R
Puntos
1852
La razón es que en muchos modelos comunes, incluido el movimiento browniano geométrico, la varianza de los rendimientos logarítmicos es proporcional al tiempo. Así, su desviación estándar/volatilidad es proporcional a root cuadrada del tiempo.
Consideremos, por ejemplo, la clase de modelos de Levy en los que $X$ es el proceso logarítmico del precio de las acciones tal que $S_t = S_0 e^{X_t}$ . La función generadora de cumulantes de $X_t$ tiene la forma
\begin{equation} \psi_{X_t}(\omega) = \psi_{X_1}(\omega) t, \end{equation}
donde $\psi_{X_1}(\omega)$ es el exponente característico que es independiente de $t$ . Se obtiene el $n$ -a cumulante como el $n$ -ésima derivada de la función generadora de cumulantes con respecto al parámetro de transformación evaluado en cero, es decir
\begin{equation} c_n(X_t) = \frac{1}{\mathrm{i}^n} \frac{\partial^n \psi_{X_t}}{\partial \omega^n}(0). \end{equation}
Se ve inmediatamente que los cumulantes son proporcionales a $t$ . Como el segundo cumulante corresponde a la varianza, esto confirma que la desviación estándar de los rendimientos logarítmicos es proporcional a root cuadrada del tiempo.
Como se ha mencionado, la configuración anterior incluye la configuración del movimiento browniano geométrico con
\begin{equation} \psi_{X_t}(\omega) = \left( \mathrm{i} \omega \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) - \frac{1}{2} \sigma^2 \omega^2 \right) t. \end{equation}
Usted obtiene
\begin{equation} c_2 \left( X_t \right) = \sigma^2 t \end{equation}
como se esperaba.
0 votos
Cuando se suman dos distribuciones normales con desviaciones estándar alfa y beta, se obtiene una distribución normal con desviación estándar sqrt(alfa^2 + beta^2). Las otras respuestas son probablemente correctas, pero, en mi opinión, innecesariamente verbosa.
2 votos
@barrycarter de hecho el supuesto de normalidad no es necesario en absoluto. Además lo que dices no es cierto si las variables normales están correlacionadas. Véase la respuesta de Alex C, que da en el clavo en mi opinión.