Derivación de la EDP estocástica de Vol

Question

Estoy tratando de seguir la derivación del vol pde estocástico para un precio de opción - como se da en Gatheral (The vol surface), Wilmott on Quant Finance y muchos otros lugares. Como es habitual se parte de una cartera $\Pi = C + \Delta S + \Delta_1 V$ de la que queremos derivar una PDE que el precio de la opción $C(t,S,\sigma)$ se satisface. Aplicando la fórmula de Ito, y eligiendo adecuadamente los ratios de cobertura podemos hacer que esta cartera no tenga riesgo. Después de un poco de álgebra terminamos con algo como

$$g(S, C,C_t, C_S, C_{SS}, C_\sigma, C_{\sigma,s})=g(S,V,V_t, V_S, V_{SS}, V_\sigma, V_{\sigma,s})$$

es decir, una relación $g$ entre las derivadas de $V$ y $C$ (en particular me refiero a la primera ecuación de la página 6 aquí ). Ahora bien, esta es la parte que no entiendo, justo debajo de esa ecuación el autor dice algo parecido a: "Como el lado izquierdo es una función de $C$ y el lado derecho es una función de $V$ sólo, la única manera de que la igualdad sea verdadera es si ambos lados son iguales a alguna función $f$ de las variables independientes $S$ , $\sigma$ y $t$ ". ¿Puede alguien explicar por qué esto es así exactamente?

Y también porque sin pérdida de generalidad podemos suponer que esta función tiene la forma $f(t,S,\sigma)=\alpha-\phi \beta \sqrt{\sigma}$ ?

La derivación completa se puede encontrar aquí .

Answer 1

1. Así que tenemos la identidad $$g(S,\sigma, t, C,C_t,C_S,...)=g(S, t,\sigma, V,V_t,V_S,...)$$ donde $S$ , $\sigma$ et $t$ son variables independientes y $V=V(S,\sigma,t)$ , $C=C(S,\sigma,t)$ son algunas funciones desconocidas. Pero también podemos tratar la identidad anterior formalmente y suponer que la funciones $C,C_t,C_S,...,V,V_t,V_S,... $ son a su vez independientes parámetros ou variables . Ahora, si fijamos todas las variables excepto $C$ y calcular la derivada parcial $\partial g/\partial C$ encontraremos que $$\frac{\partial g}{\partial C}=0$$ para todos los valores de $S,\sigma, t,C_t,C_S,...,V,V_t,V_S,...$ desde el lado derecho de la identidad no depende de $C$ . Esto implica que $g$ es constante con respecto a $C$ . Del mismo modo, se puede obtener que $$\frac{\partial g}{\partial V}=0$$ desde el lado izquierdo de la identidad no depende de $V$ . Por lo tanto, $g$ es constante con respecto a $V$ también.

   Podemos repetir este argumento para $C_t,C_S,...,V_t,V_S,... $ , lo que implicaría que $g$ no depende de ninguna de esas variables formales. Sin embargo, no podemos aplicar el mismo argumento a ninguna de las variables $S$ , $\sigma$ ou $t$ ya que ambos lados de la identidad dependen de cada uno de ellos. En otras palabras, $$ g(S,\sigma, t, C,C_t,C_S,...)=g(S, t,\sigma, V,V_t,V_S,...)=f(S,\sigma, t)$$ para alguna función $f=f(S,\sigma, t)$ . El argumento anterior no es diferente al truco estándar de separación de variables que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales parciales simples.

2. Ahora, podemos expresar simplemente la función desconocida $f$ en términos de otra función arbitraria $\phi=\phi(S,\sigma, t)$ : $$f= -(\alpha-\phi\beta).$$ No conocemos la función $\phi$ explícitamente, por supuesto. Sin embargo, es un poco más conveniente tratar con $\phi$ en lugar de $f$ y, además, el primero puede interpretarse como el "precio de mercado del riesgo".