¿Cómo abordar este ejercicio sobre la fórmula de Ito?

Question

En el siguiente ejercicio, no puedo empezar con la pregunta 2) ya que no estoy seguro de qué hacer cuando hay una integral adentro:

¿Me podrías ayudar?

Answer 1

Sea \begin{align*} X_t = W(t)W_*(t) - \frac{1}{2}\int_0^t\big(W_*(u)^2+ W(u)^2\big)du. \end{align*} Entonces, \begin{align*} dX_t &= W(t) dW_*(t) + W_*(t) dW(t) -\frac{1}{2}\left(W_*(t)^2+ W(t)^2\right)dt, \end{align*> como $W$ y $W_*$ son independientes. En consecuencia, \begin{align*} X_t = \int_0^t \big[W(s) dW_*(s) + W_*(s) dW(s)\big] -\frac{1}{2}\int_0^t\left(W_*(s)^2+ W(s)^2\right)ds. \end{align*v> Además, \begin{align*} \langle X, X\rangle_t = \int_0^t\left(W_*(s)^2+ W(s)^2\right)ds. Es decir, \begin{align*> d\langle X, X\rangle_t &= \left(W_*(t)^2+ W(t)^2\right)dt. \end{align*> Como $R_2(t) = e^{X_t}$, \begin{align*> dR_2(t) &= e^{X_t} dX_t + \frac{1}{2}e^{X_t}d\langle X, X\rangle_t\\ &= R_2(t)\Big( W(t) dW_*(t) + W_*(t) dW(t) \Big). \end{align*>