El Mercado De La Optimización De Cartera

Question

Considere el problema de minimización

$$\min\left\{\frac{1}{2}x^T\Sigma x - \lambda(\mu-r_f)^Tx\right\}$$

y asumir el modelo CAPM, es decir,

$$r_i-r_f = \beta_i(r_m-r_f) + \varepsilon_i$$

Suponiendo que $\Sigma$ es invertible, probar

$$x_i \propto \frac{\beta_i}{\textrm{Var}(\varepsilon_i)}$$

Parece lambda debe permanecer en el problema de minimización, después de la resolución de $x$, que es probablemente la razón por la que estamos sólo de problemas de proporcionalidad, pero todavía no puedo encontrar una manera de abordar esto. Resolver el Lagrangiano de los rendimientos

$$x=\lambda\Sigma^{-1}(\mu-r_f)$$

y sabemos

$$(\mu-r_f)^Tx=0$$

pero esto no parece ayudar a mí. ¿De dónde viene el término cuadrático rendimiento de la varianza en la solución viene?

Answer 1

Suponiendo que el $\epsilon_i$ son cero significa, usted debe encontrar que $$ \mu - r_f = \beta \left(E[r_m] - r_f\derecho). $$ Suponiendo que el $\epsilon_i$ son independientes el uno del otro, aunque posiblemente con diferentes variaciones, deje que $\Gamma$ ser la matriz diagonal con las desviaciones de $\epsilon_i$ en la diagonal. Luego que se van a encontrar (bajo la más habitual VULCANOLÓGICO formulación) $$ \max_x \,\, x^{\top}\beta \left(E[r_m] - r_f\derecho) - \frac{1}{2\lambda} x^{\top}\left(\beta \beta^{\top}\sigma^2 + \Gamma\derecho)x. $$ (Estoy guardando su $\lambda$ asociadas con la media, aunque por lo general es la aversión al riesgo y por lo que se podría ver $\lambda/2$.)

Ahora uso el Multiplicador de Lagrange técnica para encontrar la solución, que debe ser algo parecido a $$ x \propto \left(\beta\beta^{\top}\sigma^2 + \Gamma\derecho)^{-1}\beta, $$ y, a continuación, utilizar el Sherman-Morrison-Woodbury fórmula para simplificar la matriz inversa.