precio de una "opción de compra binaria Cash-or-nothing"

Question

Estoy atascado con un problema de tareas aquí:

Supongamos que existe un movimiento browniano geométrico \begin{equation} dS_t=\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \end{equation} Supongamos que la acción paga dividendo, con el rendimiento compuesto cont. $q$ .

a) Encuentre la versión neutral de riesgo del proceso para $S_t$ .

b) ¿Cuál es el precio de mercado del riesgo en este caso?

c) Supongamos que ya no hay rendimiento. Ahora, hay una derivada escrita en este acciones que paga una unidad de efectivo si el precio de las acciones está por encima del precio de ejercicio precio de ejercicio $K$ en el momento del vencimiento $T$ y 0 si no ( opción de compra binaria "cash-or-nothing" (efectivo o nada) ). Encuentre la PDE seguida de el precio de esta derivada. Escriba las condiciones de contorno condiciones de contorno.

d) Escribe la expresión del precio de este derivado en el momento $t<T$ como una expectativa neutral de riesgo de la remuneración final.

e) Escriba el precio de esta opción en términos de $N(d_2)$ , donde $d_2$ tiene el valor habitual de Black-Scholes.

Esto es lo que se me ocurrió por ahora:

para a): Esto debería convertirse en $dS_t'=(r-q)S_t'dt + \sigma S_t'dW_t^\mathbb{Q}$ (¿es esto correcto?)

para b): Esto sería $\zeta=\frac{\mu-(r-q)}{\sigma}$ (?)

para c): Las condiciones de contorno deben ser: Precio en $t=T$ es $0$ si $S<K, 1$ Si no, no tengo ni idea de qué escribir para la PDE.

para d): Sólo se me ocurre $C(S_t,t)=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}[C(S_t),T]$ , donde $C(S_t,T)$ es el valor en el momento $T$ es decir, la retribución.

para e): No sé cómo empezar aquí.

¿Puede alguien ayudarme y resolver esto conmigo?

Answer 1

A. es correcta, pero debes derivarla usando la lógica apropiada, no sólo adivinando la respuesta. Es decir, la deriva de las acciones descontadas debería ser 0. Defina un bono dB = rBdt. d(S/B) no debería tener deriva. Esto puede ayudarte a encontrar la mu correcta. Puedes encontrar el sde para S/B usando ito bidimensional

b. no conocen realmente el precio de mercado del riesgo.

c. En este caso el pde es el mismo que el pde de black scholes utilizando su proceso de riesgo neutral. ¿Se te ocurre por qué es así? ¿Cambia el tipo de opción de compra la evolución del subyacente? ¿Cuáles son las otras condiciones de contorno, es decir (para S = 0 y S = infinito)? Echa un vistazo a dirichlet (también conocido como condición gamma cero) y otros tipos de condiciones de contorno.

d. Este es el comienzo correcto, pero ¿cuál es la expectativa? Definamos C = efectivo en el pago. Entonces el pago(S) = C*I(S>K). Introduzcamos esto en nuestra fórmula. La expectativa ahora parece C*E(I(S>K)). El problema es que esta expectativa está en el espacio de probabilidad real y usted la quiere en su espacio neutral de riesgo. Puedes utilizar el teorema de Girsanov. La mejor prueba (resultado a utilizar) que he encontrado es (1) en http://math.ucsd.edu/~pfitz/downloads/courses/spring05/math280c/girsanov.pdf

e. En d encontrarás básicamente que E(I(S>K)) una función(t)*P(S>K) en tu espacio neutral de riesgo. Necesitas encontrar P(S>k) esto resulta ser N(d2). Puedes definir una nueva variable (S-E(S))/std(S) = Normal(0,1) para transformar P(S>k) en N(d2)

Answer 2

Para la parte (d), en lugar de utilizar el teorema de Girsanov como sugiere phubaba, creo que podemos afirmar directamente que el precio es $$V_t = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^Q \left[ u(S_T-K) \middle \vert \mathcal{F}_t \right],$$ donde $u$ es la función de paso, $Q$ es la medida de probabilidad neutral al riesgo, y $\mathcal{F}_t$ es la filtración en el momento $t$ ya que el valor de cualquier opción de tipo europeo con un pago $f(S_T)$ viene dada por $V_t = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^Q \left[ f(S_T) \middle \vert \mathcal{F}_t \right]$ .

Para la parte (e), observe que para una función de pago general $f(S_T)$ podemos escribir $$V_t = e^{-r(T-t)} \int_{-\infty}^\infty f(S_0 e^x) \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi (T-t)}} \exp \left\{-\frac{\left[x-(r-\sigma^2/2)(T-t)\right]^2}{2 \sigma^2 (T-t)} \right\} dx,$$ donde $x \sim \mathcal{N}((r-\sigma^2/2)(T-t), \sigma^2(T-t))$ . Enchufar $f(S_0 e^x) = u(S_0 e^x-K)$ Me sale $V_t = e^{-r(T-t)}N(d_2)$ .