dependencia de la cola para la optimización de la cartera

Question

Esta pregunta aparece en mi cabeza cada pocas semanas y me cuesta entender realmente el concepto / la teoría que hay detrás.

Todos sabemos que existen diferentes tipos de medidas de dependencia. Desde la de Pearson $\rho$ a Kendall's $\tau$ a medidas más sofisticadas de dependencia de la cola de la cópula:

$$\lim_{q\downarrow0}\frac{C(q,q)}{q}$$

donde $C$ es la cópula de dos variables aleatorias $X, Y$ .

En la teoría de carteras se suele evaluar el riesgo con la desviación estándar en la optimización, es decir $\sqrt{w\Sigma w}$ . Lo bueno de la correlación de Pearson es que sabemos $Var(w^TX)= w\Sigma w$ si $\Sigma$ es la matriz de covarianza de las variables aleatorias $X$ . Este simple hecho nos permite utilizar la medida de dependencia (correlación de Pearson) para definir una medida de riesgo que tiene una estructura simple.

Si lo pensamos bien. Tenemos una matriz de dependencia $\Sigma$ que contiene medidas de dependencia por pares. Utilizando $f_\Sigma (w):= w\Sigma w$ mapea entonces estas dependencias por pares a un único número de riesgo para la cartera total.

Primera pregunta ¿Podemos llegar a tener un significado tan $f$ ¿también para otras medidas de dependencia por pares para obtener un número de riesgo único global para la cartera? Significativo en este contexto significa simplemente que realmente captamos una especie de riesgo de la cartera global.

A menudo veo que la misma cuadrática $f$ se utiliza, pero sólo se sustituye la matriz de dependencia por pares. Por ejemplo, utilizando la tau de Kendall, la correlación o las dependencias de cola como entradas en $\Sigma$ .

Segunda pregunta ¿Esta sustitución tiene siquiera sentido desde una perspectiva matemática y de riesgo? ¿Cuáles son los riesgos de utilizar ciegamente este tipo de $\Sigma$ con una medida de dependencia diferente? Por ejemplo, el paquete FRAPO calcula una cartera de dependencia de cola mínima citando de esta manera enlace

Al igual que la optimización de una cartera global de mínima varianza, la cartera mínima de dependencia de la cola se determina sustituyendo la matriz de varianza-covarianza por la matriz de los coeficientes de dependencia de la cola inferior devuelta por tdc.

Al menos para mí no está claro por qué esto debería funcionar y representar un número que te diga algo sobre el riesgo de la cartera.

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Ejemplo de respuesta Wintermute

No estoy seguro de entender / estar de acuerdo. Hice el siguiente ejemplo en R. Supongamos que tenemos 4 activos con la siguiente matriz de correlación:

> cor <- matrix(c(1, 0.9, -0.95, -0.96, 0.9 , 1, -0.98, -0.92, -0.95, -0.98, 1, 0.97, -0.96, -0.92, 0.97, 1), nrow=4, byrow=T)
> cor
      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,]  1.00  0.90 -0.95 -0.96
[2,]  0.90  1.00 -0.98 -0.92
[3,] -0.95 -0.98  1.00  0.97
[4,] -0.96 -0.92  0.97  1.00

es decir, dos activos están altamente correlacionados dos están altamente descorrelacionados. Supongamos que tenemos una cartera igualmente ponderada y que las volatilidades (desviación típica de los activos son $(0.12,0.08,0.15,0.02)$ . Entonces la matriz de covarianza es

> cov <- matrix(c(cor[1,1]*0.12*0.12, cor[1,2]*0.12*0.08, cor[1,3]*0.12*0.15, cor[1,4]*0.12*0.02, cor[2,1]*0.12*0.08, cor[2,2]*0.08*0.08, cor[2,3]*0.08*0.15, cor[2,4]*0.08*0.02, cor[3,1]*0.12*0.15, cor[3,2]*0.15*0.08, cor[3,3]*0.15*0.15, cor[3,4]*0.15*0.02, cor[4,1]*0.12*0.02, cor[4,2]*0.02*0.08, cor[4,3]*0.02*0.15, cor[4,4]*0.02*0.02),nrow=4,byrow=T)
> cov
          [,1]      [,2]     [,3]      [,4]
[1,]  0.014400  0.008640 -0.01710 -0.002304
[2,]  0.008640  0.006400 -0.01176 -0.001472
[3,] -0.017100 -0.011760  0.02250  0.002910
[4,] -0.002304 -0.001472  0.00291  0.000400

comprobando rápidamente si no me he equivocado y si las matrices son semidefinidas positivas:

> cov2cor(cov)
      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,]  1.00  0.90 -0.95 -0.96
[2,]  0.90  1.00 -0.98 -0.92
[3,] -0.95 -0.98  1.00  0.97
[4,] -0.96 -0.92  0.97  1.00
> eigen(cov)
$values
[1] 4.237828e-02 1.181651e-03 1.278374e-04 1.223631e-05

$vectors
            [,1]        [,2]       [,3]        [,4]
[1,] -0.56773237  0.78783396 -0.2372159  0.02694845
[2,] -0.37734597 -0.49612636 -0.7636994 -0.16802342
[3,]  0.72548256  0.36316206 -0.5520474 -0.19243722
[4,]  0.09468381 -0.03591096 -0.2360838  0.96644184

> eigen(cor)
$values
[1] 3.840405106 0.115703083 0.038349747 0.005542064

$vectors
           [,1]       [,2]        [,3]        [,4]
[1,] -0.4960354  0.5839966 -0.63706112 -0.08396417
[2,] -0.4947472 -0.7033709 -0.19753124 -0.47061241
[3,]  0.5078001  0.2206994 -0.08387845 -0.82848975
[4,]  0.5013114 -0.3398664 -0.74033705  0.29168255

Parece que todo está bien. Ahora vamos a calcular $w^T\Sigma w$ y $w^TCw$ . Según usted, deberíamos ver una diferencia. Sin embargo, están bastante alineados entre sí:

> sum(w*(cov%*%w))
[1] 9.55e-05
> sum(w*(cor%*%w))
[1] 0.0075
> w
[1] 0.25 0.25 0.25 0.25

el riesgo (utilizando la matriz de covarianza) es cero, como cabría esperar.

Answer 1

Dado que su estándar para la medición del riesgo significativo es bastante bajo ("Significativo en este contexto simplemente significa que realmente capturamos una especie de riesgo de la cartera global"). Hay casos limitados en los que este enfoque podría tener sentido. Desde una perspectiva más amplia, creo que tiene muy poco sentido.

Si su matriz de números de riesgo por pares es simétrica y definida positivamente, define una métrica (en realidad un producto interno) en el espacio vectorial de todas las carteras posibles. Con esta métrica se pueden hacer todas las cosas que se pueden hacer con cualquier métrica: Distinguir entre carteras grandes ("arriesgadas") y pequeñas ("seguras"), optimizar fácilmente (debido a la convexidad de la función de distancia), realizar una optimización del riesgo/rendimiento, etc. Creo que esto es exactamente lo que ha dicho Quintuple.

¿Le dará esto la imagen completa? Sin fuertes suposiciones adicionales sobre la distribución multivariante subyacente de los rendimientos de los activos, definitivamente no. El mejor ejemplo de esta suposición es, por supuesto, la normalidad multivariante. En realidad, la razón por la que la matriz de covarianza es tan importante en este caso es no que proporciona una forma sencilla de calcular la varianza. Es importante porque la covarianza (junto con la media) determina la distribución. Esto significa que si se conoce la covarianza (y las medias) se sabe todo lo que hay que saber sobre la distribución, incluido el riesgo de la rentabilidad total de la cartera, sea cual sea la forma en que se defina el riesgo.

Para llevar este punto de suposiciones adecuadas más abajo: Incluso las correlaciones lineales pueden dejar de ser "significativas" si se abandona la normalidad multivariante. Véase esto documento sobre las trampas de la correlación .

Además, la idea de medir sólo par La dependencia es muy problemática. La dependencia entre pares es sólo un aspecto de la dependencia total (y por tanto del riesgo total). Para ver una verdadera sorpresa, eche un vistazo a esta presentación . Está en alemán tristemente pero en la página 9 se encuentra un bonito gráfico. Es un ejemplo de tres variables aleatorias uniformes(0,1). Las dispersiones de la izquierda muestran que son independientes entre sí (no sólo no correlacionadas, sino realmente independientes), mientras que la parte de la derecha ofrece la imagen completa. En este ejemplo, la tercera variable $U_3$ es en realidad una función determinista de las otras dos variables $(U_1,U_2)$ es decir, tiene posiblemente la mayor dependencia posible de los otros dos.

Si quieres entender cómo este tipo ha construido el ejemplo echa un vistazo a su documento sobre la configuración de las dependencias de la cola .

Answer 2

Dejemos que $X$ ser un $n \times 1$ vector aleatorio y $w$ un vector de coeficientes. Entonces sabemos que $$Var(w^TX)=w^T \;Var(X) \;w=w^T\Sigma w$$ donde $\Sigma$ es la matriz de covarianza de $X$ . Supongamos ahora que $C$ es la matriz de correlación de $X$ y $e$ es el $n \times 1$ vector de todos los unos. Vemos que $$w^T C w = w^Te +\sum_{i \neq j}w_iw_jc_{ij}$$ donde $c_{ij}$ es la correlación entre el $i^{th}$ y $j^{th}$ componentes de $X$ . Ahora $c_{ij}$ le indica la fuerza de cualquier posible relación lineal entre el $i^{th}$ y $j^{th}$ componentes de $X$ (1 o -1 significa una relación lineal perfecta). ¿Qué significa sumar correlaciones? En el contexto de la regresión múltiple puede utilizarse para calcular $R^2$ para ver qué parte de la varianza es descrita por su modelo, sin embargo en el contexto del riesgo de la cartera no estoy seguro de que nos diga nada significativo. Por ejemplo, si la mitad de las correlaciones son 1 y la otra mitad -1 $w^T C w$ sería pequeño y podría pensar que tiene un riesgo bajo. Sin embargo, debería tener una fuerte dependencia lineal entre todas sus acciones. Yo diría lo mismo de la tau de Kendall. En general, diría que es peligroso utilizar cualquier medida que no sea ante todo racional. Además, es peligroso utilizar cualquier código que no se entienda completamente. No me queda ni remotamente claro cómo funciona el código del enlace que has proporcionado, así que yo me mantendría al margen. Si quieres medir el riesgo de cola de tu cartera te recomendaría ajustar una ley de potencia a tu serie temporal de rendimientos de la cartera. Esto le dará una buena idea de cómo kurtotic sus rendimientos de la cartera son.