Equilibrio Bayesiano-Nash en una subasta de primer precio

Question

En un famoso ejemplo de libro de texto de un equilibrio Bayesiano-Nash, hay una subasta de primer precio con dos jugadores independientes. Cada jugador $i$ valora el artículo como $v_i$ que se distribuye uniformemente en $[0,1]$ . Se supone que la estrategia de cada jugador $i$ es ofertar una fracción de su valor, es decir

$$ b_i(v_i) := a_i \cdot v_i$$

para alguna constante $a_i$ . Entonces, podemos concluir que, para cada $a_1$ la mejor respuesta del jugador 2 es elegir $a_2=1/2$ . Por lo tanto, el único equilibrio Bayes-Nash de esta forma es $a_1=1/2, a_2=1/2$ .

Ahora, he intentado generalizar ligeramente el ejemplo asumiendo que los valores de los jugadores se distribuyen uniformemente en $[c,d]$ para algunas constantes $d>c>0$ . Pero no encontré un equilibrio. Supongamos que el jugador 1 puja $ a_i \cdot v_i$ y el jugador 2 puja $ $ a_2 \cdot v_2$. Entonces la utilidad esperada del jugador 2 es:

$$ProbOfWinning(a_2)\cdot GainWhenWinning(a_2)$$

$$=Pr[a_1 v_1 < a_2 v_2]\cdot (1-a_2)v_2$$

$$=\frac{(a_2 v_2 /a_1)-c}{d-c}\cdot (1-a_2)v_2$$

Tomando la derivada de esta expresión con respecto a $a_2$ da que la mejor respuesta del jugador 2 es:

$$ a_2 = {1\over 2} + {a_1 c\over 2 v_2} $$

así que lo mejor $a_2$ depende de $v_2$ . Esto significa que la función del valor a la acción no es lineal como supuse inicialmente.

¿Tengo algún error en el cálculo? ¿Qué es un equilibrio Bayes-Nash en esta subasta?

Answer 1

En realidad se supone que $b_i(v_i)$ es de la forma $\alpha_i+\beta_i \cdot v_i$ . Por lo tanto, es una función afín. La linealidad sólo funciona si el fondo de la distribución uniforme es 0.

Un razonamiento algo intuitivo es que si las valoraciones se distribuyen uniformemente sobre $[c,d]$ y $b_i(v_i)$ es un equilibrio simétrico, entonces $b_i(v_i)+k$ debe definir un equilibrio simétrico cuando las valoraciones son uniformes sobre $[c+k,d+k]$ ya que no cambian ni la probabilidad de ganar ni la ganancia.

Suponiendo una estrategia de la forma $\alpha_i+\beta_i \cdot v_i$ se obtiene

$$ =Pr[\alpha_1 + \beta_1 \cdot v_1 < \alpha_2 + \beta_2 \cdot v_2] \cdot ((1- \beta_2) \cdot v_2 - \alpha_2) $$

$$ =Pr\left[v_1 < \frac{\alpha_2 - \alpha_1 + \beta_2 \cdot v_2}{\beta_1} \right] \cdot ((1- \beta_2) \cdot v_2 - \alpha_2) $$

$$ =\frac{\frac{\alpha_2 - \alpha_1 + \beta_2 \cdot v_2}{\beta_1}-c}{d-c}\cdot ((1- \beta_2) \cdot v_2 - \alpha_2) $$

Tomando la derivada con respecto a $\alpha_2$ y $\beta_2$ se le dan las condiciones de su primer pedido. Asumiendo simetría se obtiene una solución única. Si $c = 0$ entonces $\alpha_1 = \alpha_2 = 0$ .

Por cierto, prefiero tratar $b_2(v_2)$ como variable de decisión, entonces puede $$ \max_{b_2(v_2)} Pr\left[v_1 < \frac{b_2(v_2) - \alpha_1}{\beta_1} \right] \cdot (v_2 - b_2(v_2)) $$ y la última fracción es algo más sencilla.