Relación de preferencia lexicográfica en el QxR

Question

Me gustaría pedirte ayuda. Recientemente he aprendido que la relación de Preferencia Lexicográfica puede ser representada por una función de utilidad $u:X\to\mathbb{R}$ en $\mathbb{Q}\times\mathbb{R}$ (pero no $\mathbb{R}\times\mathbb{Q}$ ).

Para recordar, una relación de preferencia lexicográfica dice que en $\mathbb{R^2}$ , $x\succeq y$ x si y sólo si $x_1>y_1$ o $x_1=y_1$ y $x_2\geq y_2$ donde $x=(x_1,x_2)$ y $y=(y_1,y_2)$ .

Por lo tanto, me hubiera gustado ver una prueba de esta afirmación y cómo es posible construir tal representación de utilidad. Supongo que primero debemos suponer que existe una representación de utilidad para la preferencia lexicográfica en $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ ya que esta última es contable, pero después me pierdo.

¡Infinitas gracias por su ayuda!

Answer 1

Obsérvese primero que para cada intervalo compacto no trivial (más de un punto) $I$ existe una función estrictamente creciente desde $\mathbb{R}$ a $I$ .

Dejemos que $\langle q_1,q_2, q_3,\ldots\rangle$ sea una enumeración de $\mathbb{Q}$ . Definiremos $u:\mathbb{Q}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ Inductivamente, uno $q_n$ tras otro.

Dejemos que $I_1$ sea un intervalo compacto no trivial y $u_1:\mathbb{R}\to I_1$ sea estrictamente creciente.

Supongamos ahora que existen intervalos compactos no triviales disjuntos $I_1,\ldots,I_n$ que ordenó en la línea como $q_1,\ldots,q_n$ y funciones estrictamente crecientes $u_m:\mathbb{R}\to I_m$ para $m\leq n$ . Como estos intervalos son cerrados y disjuntos, hay espacio entre dos intervalos consecutivos cualesquiera. Así que se puede poner un intervalo compacto no trivial $I_{n+1}$ en un lugar correspondiente a $q_{n+1}$ entre $q_1,\ldots, q_n$ . Elija también alguna función estrictamente creciente $u_{n+1}:\mathbb{R}\to I_{n+1}$ .

Esto le dará una secuencia disjunta $\langle I_1, I_2, \ldots\rangle$ de intervalos no triviales y una secuencia de funciones $\langle u_1, u_2, \ldots\rangle$ con $u_n:\mathbb{R}\to I$ sea estrictamente creciente. Ahora definamos $u:\mathbb{Q}\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ por $u(q_n,r)=u_n(r)$ .

Puede comprobar que $u$ representa la ordenación lexicográfica en $\mathbb{Q}\times\mathbb{R}$ .

Advertencia: La existencia de un número contablemente infinito de intervalos no triviales disjuntos puede parecer muy extraña, pero está perfectamente bien.