Tome la 1ª a la orden de la serie de Taylor de la función $log(x)$. alrededor de uno:
$$ log(x) \aprox de registro(1) + \frac{x-1}{1} = x-1$$
Por lo tanto, para una variable aleatoria r, que es cercana a cero:
$$ log(1+r) \aprox r$$
Registro de devoluciones son normalmente algo así como $log(P_{nuevo}/P_{edad})$:
$$\Delta de registro(P_t) = log(P_{nuevo}/P_{edad}) = log((P_{edad} + \Delta P)/P_{edad}) = log(1 + \Delta P/P_{edad}) \approx \Delta P/P_{edad}$$
Pero $\Delta P/P_{edad}$ es simplemente el porcentaje de cambio en $P_{edad}$. Por lo tanto, hemos demostrado que podemos aproximar el cambio porcentual en una variable $X$ con $\Delta log(X)$.
¿Por qué molestarse? Sobre todo porque de registro de las diferencias puede ser resumida por ciento, pero los cambios no pueden ser:
El uso de registros, o resumen de los cambios en términos de capitalización continua,
tiene un número de ventajas sobre buscando a simples cambios de porcentaje. Para
ejemplo, si su cartera va por el 50% (digamos de \$100 a $ \$150) y
entonces se disminuye en un 50% (digamos de \$150 a \$75), no está de vuelta en donde
empezado. Si se calcula el promedio de porcentaje de retorno (en este
caso 0%), que no es particularmente útil resumen de el hecho de que
que en realidad terminó el 25% por debajo de donde empezó. Por el contrario, si
su cartera sube en términos logarítmicos por 0.5, y luego cae en
términos logarítmicos por 0.5, son exactamente los de vuelta donde había empezado. El
promedio de registro de regreso en su cartera es exactamente el mismo número que el
cambio en el registro de precio entre el momento en que usted compró y el tiempo que
la vendió, dividido por el número de años que la llevó a cabo.
Jame Hamilton: el Uso de logaritmos en la economía
