En la derivación de la fórmula Black-Scholes dado por Joshi (extracto de abajo), él dice que $C(t,S_t)/B_t$ es una martingala. Por qué?
Entiendo que esto puede ser deducido a partir de la Black-Scholes de la PDE ya que la deriva del término es igual a cero. Pero, ¿cómo puede deducir $C(t,S_t)/B_t$ es una martingala antes hemos derivado el de Black-Scholes de la PDE.
Es importante tener en cuenta que él dice: "En el riesgo-neutral mundo, $\frac{C(t,S_t)}{B_t}$ es una martingala." Que es cierto por definición de lo que el riesgo-neutral medida, también llamada martingala medir exactamente por esa razón.
Un riesgo-neutral medida está definido de tal forma que los precios de los activos ajustados por la numeraire (unidad con la que los precios se miden) son martingales. En tu ejemplo, el estándar numeraire se utiliza: una cuenta de banco que está continuamente reinvertidos a la tasa libre de riesgo. Hay un montón de fuentes que se analiza la (casi) la equivalencia de la existencia de un riesgo-neutral de la medida y de la ausencia de arbitraje (o más precisamente: No hay almuerzo gratis con riesgo de fuga). El libro más completo sobre estas cuestiones es por Delbaen y Schachermeyer, pero es matemáticamente muy exigente. Personalmente, me gusta el libro por Duffie, pero las opiniones acerca de los libros varían. Un buen compromiso entre la matemática de la integridad financiera y la intuición es el libro por Björk.
En Joshi del Libro "Los Conceptos y la Práctica de la Matemática de las Finanzas", todo el capítulo 6 está dedicado a este tema.
En el Black-Scholes mundo, se supone que el valor de la opción $C(t, S_t)$ es replicable por la admisibilidad de una auto-financiación de la estrategia de negociación de $\phi$, donde $\phi_t=(\alpha_t, \beta_t)$. Es decir, \begin{align*} C(t, S_t) = \alpha_t B_t + \beta_t S_t, \end{align*} y \begin{align*} dC(t, S_t) = \alpha_t dB_t + \beta_t dS_t. \end{align*} Desde $dB_t = rB_t dt$, y $dS_t = S_t(rdt + \sigma dW_t)$, entonces \begin{align*} d\bigg(\frac{C(t, S_t)}{B_t} \bigg) &= \frac{dC(t, S_t)}{B_t}-\frac{C(t, S_t)}{B_t^2}dB_t\\ &=\beta_t \frac{dS_t}{B_t} - \beta_t \frac{S_t}{B_t^2}dB_t\\ &=\beta_t \frac{S_t(rdt + \sigma dW_t)}{B_t} - \beta_t \frac{S_t}{B_t}rdt\\ &=\sigma\beta_t\frac{S_t}{B_t}dW_t. \end{align*} Por lo tanto, $\{C(t, S_t)/B_t \mediados de 0\leq t \leq T\}$ es una martingala.
No se si el autor explica que, pero cuando se trata de replicar las carteras, el descuento de cartera debe ser una martingala para los no-arbitraje de condiciones. Eso es un hecho muy importante en la teoría de la neutrales al riesgo de precios. Más detalles se encuentran en la Shirjaeva del "Essentials Estocástica de las Finanzas", y tal vez en algunos teoría de la probabilidad orientado libros sobre el tema, por ejemplo, Musiela y Rutkowski.
Vamos a ir al Capítulo 6 del libro donde habla sobre el riesgo de neutralidad. En el capítulo demostró la existencia de un riesgo-neutral medida. Ahora, vamos a parar y pensar en lo que esto significa.
Significa que nuestra cobertura de cartera para la opción no puede vencer a la tasa libre de riesgo. Aunque no es matemáticamente correcto, usted puede pensar en C/B como una proporción del precio de la opción cero cupón de los bonos. Si esta relación tiene una deriva (he.e: una tendencia), la opción (que yo.e: título de la cartera) se comporta mejor que el cero cupón de los bonos. Obviamente, va a crear una oportunidad de arbitraje. Matemáticamente, esto es simplemente una martingala bajo el riesgo-neutral medida.
Ahora, sabemos que el precio de la opción debe ser una martingala bajo el riesgo-neutral medida y también sabemos que el desplazamiento es cero, no es difícil ver por qué Mark Joshi derivados de la manera en que lo hizo en el libro.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
