¿Es correcta esta aplicación del lema de Ito?

Question

Supongamos que $S$ sigue un movimiento geométrico browniano

$$dS=S(\mu dt+\sigma dB).$$

Es bien sabido que

$$S_{T}=S_{0}exp((\mu-\dfrac{\sigma^{2}}{2})T+\sigma B_{T}).$$

Método 1 (no tengo ningún problema con esto)

Dejar $f(S)=log(S)$ y haciendo una expansión de Taylor de 2º orden y observando que $(dB)^{2}=dt$ . Por ejemplo:

$$d(log(S)) = f'(S)dS+\dfrac{1}{2}f''(S)S^{2}\sigma^{2}dt=\dfrac{1}{S}(\mu dt+\sigma SdB)-\dfrac{1}{2}\sigma^{2}dt=(\mu-\dfrac{\sigma^{2}}{2})dt+\sigma dB.\quad (*)$$

De ello se desprende que

$$log(S_{T})=log(S_{0})+(\mu-\dfrac{\sigma^{2}}{2})T+\sigma B_{T}$$ y por lo tanto

$$S_{T}=S_{0}exp((\mu-\dfrac{\sigma^{2}}{2})T+\sigma B_{T}).$$

La derivación anterior está perfectamente bien y se puede encontrar en Wikipedia por ejemplo.

Método 2 (¿está permitido?)

Usemos el lema de Ito

$$dF(t,X(t))=(F_{t}'+a(t)F_{x}'+\dfrac{1}{2}b(t)^{2}F''_{xx})dt+(b(t)F'_{x})dB$$ para un proceso $dX(t)=a(t)dt+b(t)dB(t)$ y para una función $F(t,X(t))$ . Sea $F(t,X(t))=log(X(t)).$ Dejemos que $dS=S\mu dt+S\sigma dB$ y que $a(t)=S\mu$ y $b(t)=S\sigma$ . Esta es mi pregunta: $a(\cdot)$ es una función de $t$ y no $S$ ¿todavía se puede hacer esto? . Entonces

$$dF=(0+\mu+\dfrac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\times(\dfrac{-1}{S^{2}}))dt+\sigma\dfrac{S}{S}dB=(\mu-\dfrac{1}{2}\sigma^{2})dt+\sigma dB.$$ Aquí llegamos a (*) a partir del método 1 y, por tanto, el resultado es el siguiente.

¿Esta derivación es técnicamente correcta? El hecho de que dé la respuesta correcta no implica que el método sea sólido.

Answer 1

El segundo método que utilizas es correcto y, de hecho, es completamente equivalente al primero. La razón es que la demostración del lema de Ito se basa en una expansión de Taylor de segundo orden.

Observe que la formulación de Wikipedia del lema de Ito es un poco engañosa, ya que escriben $$dX_t = \mu_t dt + \sigma_t dB_t$$ pero, en realidad, las funciones $\mu$ y $\sigma$ pueden depender de $X$ Es decir $$\mu_t = \mu(t,X_t) \qquad \text{and}\qquad \sigma_t = \sigma(t,X_t).$$ Por lo tanto, su aplicación del lema de Ito es formalmente correcta.

PS: Ver por ejemplo aquí para una derivación del lema, donde el hecho de que $\mu$ y $\sigma$ puede depender de $X_t$ se hace explícita después de la ecuación (1).