¿Por qué hay una convexidad de ajuste si la fecha de pago difiere de la tasa Libor fecha de finalización?

Question

3 meses LIBOR que la fijación de $T$, a pagar en 3 meses no tiene una convexidad de ajuste.

Sin embargo, 3 meses LIBOR fijación $T$, a pagar en 6 meses necesita un ajuste de convexidad.

Cómo es esta demostrado matemáticamente y cómo se podría calcular el valor de este ajuste?

Answer 1

Nos deja denotar $\delta$, la tasa Libor del tenor (por ejemplo, 3M), $P(t, T)$ el precio de un bono cupón cero de los precios de pagar 1 unidad de moneda en $T$, y $L_t(T, T + \delta)$ el avance de 3M Libor partir de $T$ y terminando en $T+\delta$, visto desde $t$:

$$L_0(T, T + \delta) = \frac{1}{\delta} \left(\frac{P(0, T)}{P(0, T + \delta)} - 1 \right)$$

La vainilla caso: pago a la tasa Libor fecha de finalización

El numéraire correspondiente a la $T+\delta$ adelante de la medida es $P(t, T + \delta)$, y la tasa Libor expresado anteriormente es una martingala bajo esta medida. Así que, si tenemos en cuenta un pago de esta tasa libor a su fecha de finalización $T+\delta$, tiene el precio:

$$\begin{aligned} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ e^{\int_0^{T+\delta}r(u)du} L(T, T+\delta) \right] &= P(0, T+\delta) \times \mathbb{E}^{T+\delta}[L(T, T+\delta)] \\ &= P(0, T+\delta) \times L_0(T, T+\delta) \end{aligned}$$

Ambos términos son conocidos en el $t = 0$.

Esta es la forma de vainilla tasas de interés swaps de, por ejemplo, son valorados, leer el Libor adelante a partir de hoy la curva, se asume que es precisamente esto adelante, que será pagado o recibido, y el descuento con el cupón cero.

Pago en una fecha diferente $T' \neq T+\delta$

¿Por qué es la convexidad de ajuste necesarios?

Ahora, si el pago se realiza en una fecha diferente: $T' \neq T+\delta$ (por ejemplo, $T + 2\delta$) a continuación:

$$\begin{aligned} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ e^{\int_0^{T'}r(u)du} L(T, T+\delta) \right] &= P(0, T') \times \mathbb{E}^{T}[L(T, T+\delta)] \\ &\neq P(0, T') \times L_0(T, T+\delta) \end{aligned}$$

Esto es debido a que la tasa Libor no es una martingala bajo los $T"$ adelante la medida, pero debajo de los $T+\delta$ adelante la medida, como hemos visto anteriormente. Para hacer el forward Libor $L_t(T, T+\delta)$ aparecer, tenemos que cambiar las medidas:

$$\begin{aligned} \mathbb{E}^{T}[L(T, T+\delta)] & = \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \times \frac{d\mathbb{Q}^{T'}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} \right]\\ &= \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \derecho] + \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \left(\frac{d\mathbb{Q}^{T'}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} -1 \derecho)\right] \\ &= L_0(T, T+\delta) + \underbrace{\mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \left(\frac{d\mathbb{Q}^{T'}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} -1 \derecho)\right]}_{\text{convexidad de ajuste plazo: } Conv(T+\delta T')} \end{aligned}$$

Hemos expresado el valor de esta tasa Libor pago como el producto de la cero cupón y tasa Libor adelante, como en el de vainilla caso, pero esta vez con un ajuste plazo:

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ e^{\int_0^{T+\delta}r(u)du} L(T, T+\delta) \right] = P(0, T+\delta) \times \left( L_0(T, T+\delta) + P(T+\delta T') \derecho)$$

La expresión de la convexidad de ajuste plazo

El numéraires de las dos medidas de probabilidad involucrados son los precios de los cero cupón de los precios de los bonos con vencimientos $T"$ y $T+\delta$, por lo que:

$$\begin{aligned} \frac{d\mathbb{Q}^{T'}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} &= \frac{P(T+\delta T')}{P(0,T')} \times \frac{P(0, T+\delta) }{P(T+\delta T+\delta) }\\ &= \frac{P(T+\delta T')}{P_0(T+\delta T')} \end{aligned}$$

Que conduce a la expresión final:

$$Conv(T+\delta, T') = \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \left(\frac{P(T+\delta T')}{P_0(T+\delta T')} - 1 \right) \right]$$

A lo explícito el valor de este término, se necesita un modelo para su cupón cero, los precios de los bonos, o, equivalentemente, para las tasas Libor.

Porque involucran a la expectativa de un producto, la convexidad de ajuste términos implicará la covarianza entre el numéraire y la cantidad que está siendo evaluado.

En este caso específico, una correlación de 1 es generalmente asumido, y la convexidad de ajuste plazo dependerá de la tasa Libor de la volatilidad.

Aquí está un ejemplo suponiendo un lognormal Libor.

Answer 2

Considere la posibilidad de una secuencia de fecha $$\begin{align*} 0 \leq t_0 \leq T_s < T_e < T_p, \end{align*}$$ donde $t_0$ es la fecha de valoración, $T_s$ es el Libor fecha de inicio, $T_e$ es el Libor fecha de finalización, y $T_p$ es la fecha de pago. Deje que $\Delta_s^e = T_e-T_s$. De $0\le t \le T_s$, definir $$\begin{align*} L^e(t, T_s, T_e) = \frac{1}{\Delta_s^e}\bigg(\frac{P(t, T_s)}{P(t, T_e)}-1 \bigg), \end{align*}$$ donde $P(t, \mu)$ es el precio en el tiempo $t$ de un bono cupón cero con vencimiento $\mu$ y unidad de valor nominal. Por otra parte, dejar que $\Delta_e^p = T_p-T_e$. De $0\le t \le T_e$, definir $$\begin{align*} L^p(t, T_e, T_p) = \frac{1}{\Delta_e^p}\bigg(\frac{P(t, T_e)}{P(t, T_p)}-1 \bigg). \end{align*}$$ Además, permitir a los $P^{T_e}$ denotar la $T_e$-forward medida, y $P^{T_p}$ denotar la $T_p$-adelante la medida. Suponemos que, en virtud de $P^{T_p}$, de $0\le t \le T_s$, $$\begin{align*} dL^e &= \mu(t) dt + \sigma_e L^e dW_t^e, \etiqueta{1}\\ dL^p &= \sigma_p L^P\left(\rho dW_t^e + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^p \derecho), \end{align*}$$ donde $\sigma_e$, $\sigma_p$y $\rho$ son constantes, mientras que $\{W_t^e, t \ge 0\}$ y $\{W_t^p, t \ge 0\}$ son dos independientes estándar Browniano movimientos.

Deje que $E^{T_p}$ se la expectativa de operador, de conformidad con $T_p$-adelante de la medida $P^{T_p}$. Buscamos el valor definido por $$\begin{align*} P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L^e(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big). \end{align*}$$

Tenga en cuenta que, para $0 \le t \le T_e$, $$\begin{align*} \eta_t \equiv \frac{dQ^{T_e}}{dQ^{T_p}}\big|_{t} &= \frac{P(t, T_e)P(t_0, T_p)}{P(t_0, T_e)P(t, T_p)}\\ &= \frac{1+\Delta_e^pL^p(t, T_e, T_p) }{1+\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p) }. \end{align*}$$ Entonces $$\begin{align*} d\eta_t &= \frac{\Delta_e^pL^p(t, T_e, T_p) }{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p) }\sigma_p \left(\rho dW_t^e + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^p \derecho)\\ &=\frac{\sigma_p\Delta_e^pL^p(t, T_e, T_p) }{1+\Delta_e^p L^p(t, T_e, T_p) }\eta_t\left(\rho dW_t^e + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^p \derecho). \end{align*}$$ En consecuencia, $$\begin{align*} \hat{W}_t^e = W_t^e - \int_0^t \frac{\rho\sigma_p\Delta_e^pL^p(s, T_e, T_p) }{1+\Delta_e^p L^p(s, T_e, T_p) }ds \end{align*}$$ es un estándar de movimiento Browniano debajo de los $T_e$-adelante de la medida $P^{T_e}$. Por lo tanto, $$\begin{align*} \mu(t) &= -\frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t, T_e, T_p)}L^e(t, T_s, T_e)\\ &\aprox -\frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)}L^e(t, T_s, T_e) \end{align*}$$ en $(1)$ de arriba, dado que $L^e$ es una martingala bajo $T_e$-adelante de la medida $P^{T_e}$. Es decir, debajo de los $T_p$-forward medida, $$\begin{align*} dL^e(t, T_s, T_e) &\aprox L^e(t, T_s, T_e)\left(-\frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)} dt + \sigma_e dW_t^e\ \ derecho), \end{align*}$$ y $$\begin{align*} L^e(T_s, T_s, T_e) &\aprox L^e(t_0, T_s, T_e)\exp\bigg(-\frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)}(T_s-t_0) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -\frac{\sigma^2}{2}(T_s-t_0) + \sigma \big(W_{T_s}^e -W_{t_0}^e\big) \bigg) \end{align*}$$

Por otra parte, $$\begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L^e(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big) \\ \aprox&\ P(t_0, T_p)L^e(t_0, T_s, T_e) \exp\left(-\frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)}(T_s-t_0) \derecho)\\ \aprox&\ P(t_0, T_p)L^e(t_0, T_s, T_e)\left(1- \frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)}(T_s-t_0)\derecho). \end{align*}$$ Aquí, el término $$\begin{align*} - \frac{\rho\sigma_e\sigma_p\Delta_e^pL^p(t_0, T_e, T_p)L^e(t_0, T_s, T_e)}{1+\Delta_e^p L^p(t_0, T_e, T_p)}(T_s-t_0) \end{align*}$$ puede ser tratada como la convexidad de ajuste.

Answer 3

Las otras dos respuestas, hacer un buen trabajo de explicar, dentro del contexto de la matemática financiera, modelos, ¿por qué una convexidad es necesario un ajuste, pero creo que más tangible perspectiva también puede ser útil.

Considere dos forward rate agreements (FRA) a recibir fijo y pagar flotante, con la misma fijación de la fecha $T_s$ y la fecha de finalización $T_e$. La primera paga en la fecha de finalización, y el segundo paga, algún tiempo después, en $T_p = T_e + \Delta$.

El segundo contrato será golpeado a una tasa más baja (la convexidad de ajuste). Por qué?

Respuesta Simple

Cuando se dio cuenta de que las tasas de interés son más altos que el mercado en la actualidad los precios, usted debe hacer un pago en $T_e$ en el primer contrato, y debe financiar esta pérdida de hasta $T_p$ a una tasa de interés alta. Cuando se dio cuenta de que las tasas de interés son más bajos que los precios de mercado, el primer contrato que se recibe dinero en efectivo en $T_e$ pero sólo pueden invertir a una tasa de interés baja. El segundo contrato, por lo tanto tiene una ventaja, por lo que la velocidad de avance debe ser ajustado hacia abajo para compensar.

Más respuesta concreta

Más concretamente, supongamos que ambos contratos se golpeó en la misma velocidad de avance $K$. En algún tiempo $t < T_s$ el valor esperado del primer contrato en $T_e$ es

$$V_1 = K - F$$

donde $F$ es el tipo de cambio a plazo se fija en $T_s$ (que es una cantidad desconocida en este punto). El valor esperado de la segunda contrato es

$$V_2 = (K - F) e^{-I\Delta}$$

donde $R$ es la tasa de descuento para el período desde la fecha de finalización a la fecha de pago, la cual será conocida en $T_e$. Las variables $F$ y $R$ es desconocido, pero relacionados, si el tipo de cambio a plazo es alta, la tasa de descuento es probable que sea alta.

Considere la posibilidad de un sencillo de dos escenario modelo donde

$$F = \begin{casos} K+\delta F & \textrm{con probabilidad 1/2} \\ K-\delta F & \textrm{con probabilidad 1/2} \end{casos}$$

$$R = \begin{casos} R_0+\delta del R & \textrm{con probabilidad 1/2} \\ R_0-\delta del R & \textrm{con probabilidad 1/2} \end{casos}$$

A continuación, puede mostrar que

$${\rm E}(V_1) = 0$$

$${\rm E}(V_2) \approx \Delta e^{-R_0 \Delta} {\rm Cov}(\delta F, \delta R) > 0$$

Si no hay ningún ajuste de convexidad esto representa un arbitraje (usted recibiría fija en el segundo contrato y el pago fijo en el primer contrato con el plan de pago en el primer contrato en $T_e$ y cerrar el segundo contrato a precios de mercado al mismo tiempo).

El segundo contrato debe ser golpeado en una menor velocidad de avance para eliminar este arbitraje oportunidad -- esta es la convexidad de ajuste, y es aproximadamente el negativo de ${\rm E}(V_2)$ en la ecuación anterior. Esto demuestra tres cosas sobre el tamaño de la convexidad de ajuste --

1. Es mayor cuando la correlación entre la velocidad de avance y la tasa de descuento es mayor (aunque en la práctica esta correlación es siempre muy cercano a 1)
2. Es más, cuando las tasas son más volátiles
3. Es mayor cuando el pago gal $\Delta$ es mayor