Nos deja denotar $\delta$, la tasa Libor del tenor (por ejemplo, 3M), $P(t, T)$ el precio de un bono cupón cero de los precios de pagar 1 unidad de moneda en $T$, y $L_t(T, T + \delta)$ el avance de 3M Libor partir de $T$ y terminando en $T+\delta$, visto desde $t$:
$$L_0(T, T + \delta) = \frac{1}{\delta} \left(\frac{P(0, T)}{P(0, T + \delta)} - 1 \right)$$
La vainilla caso: pago a la tasa Libor fecha de finalización
El numéraire correspondiente a la $T+\delta$ adelante de la medida es $P(t, T + \delta)$, y la tasa Libor expresado anteriormente es una martingala bajo esta medida. Así que, si tenemos en cuenta un pago de esta tasa libor a su fecha de finalización $T+\delta$, tiene el precio:
$$\begin{aligned}
\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ e^{\int_0^{T+\delta}r(u)du} L(T, T+\delta) \right] &= P(0, T+\delta) \times \mathbb{E}^{T+\delta}[L(T, T+\delta)] \\
&= P(0, T+\delta) \times L_0(T, T+\delta)
\end{aligned}$$
Ambos términos son conocidos en el $t = 0$.
Esta es la forma de vainilla tasas de interés swaps de, por ejemplo, son valorados, leer el Libor adelante a partir de hoy la curva, se asume que es precisamente esto adelante, que será pagado o recibido, y el descuento con el cupón cero.
Pago en una fecha diferente $T' \neq T+\delta$
¿Por qué es la convexidad de ajuste necesarios?
Ahora, si el pago se realiza en una fecha diferente: $T' \neq T+\delta$ (por ejemplo, $T + 2\delta$) a continuación:
$$\begin{aligned}
\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ e^{\int_0^{T'}r(u)du} L(T, T+\delta) \right] &= P(0, T') \times \mathbb{E}^{T}[L(T, T+\delta)] \\
&\neq P(0, T') \times L_0(T, T+\delta)
\end{aligned}$$
Esto es debido a que la tasa Libor no es una martingala bajo los $T"$ adelante la medida, pero debajo de los $T+\delta$ adelante la medida, como hemos visto anteriormente. Para hacer el forward Libor $L_t(T, T+\delta)$ aparecer, tenemos que cambiar las medidas:
$$\begin{aligned}
\mathbb{E}^{T}[L(T, T+\delta)] & = \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \times \frac{d\mathbb{Q}^{T'}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} \right]\\
&= \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \derecho] + \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \left(\frac{d\mathbb{Q}^{T'}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} -1 \derecho)\right] \\
&= L_0(T, T+\delta) + \underbrace{\mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \left(\frac{d\mathbb{Q}^{T'}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} -1 \derecho)\right]}_{\text{convexidad de ajuste plazo: } Conv(T+\delta T')}
\end{aligned}
$$
Hemos expresado el valor de esta tasa Libor pago como el producto de la cero cupón y tasa Libor adelante, como en el de vainilla caso, pero esta vez con un ajuste plazo:
$$
\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ e^{\int_0^{T+\delta}r(u)du} L(T, T+\delta) \right] = P(0, T+\delta) \times \left( L_0(T, T+\delta) + P(T+\delta T') \derecho)
$$
La expresión de la convexidad de ajuste plazo
El numéraires de las dos medidas de probabilidad involucrados son los precios de los cero cupón de los precios de los bonos con vencimientos $T"$ y $T+\delta$, por lo que:
$$\begin{aligned}
\frac{d\mathbb{Q}^{T'}}{d\mathbb{Q}^{T+\delta}} &= \frac{P(T+\delta T')}{P(0,T')} \times \frac{P(0, T+\delta) }{P(T+\delta T+\delta) }\\
&= \frac{P(T+\delta T')}{P_0(T+\delta T')}
\end{aligned}
$$
Que conduce a la expresión final:
$$
Conv(T+\delta, T') = \mathbb{E}^{T+\delta} \left[L(T, T+\delta) \left(\frac{P(T+\delta T')}{P_0(T+\delta T')} - 1 \right) \right]
$$
A lo explícito el valor de este término, se necesita un modelo para su cupón cero, los precios de los bonos, o, equivalentemente, para las tasas Libor.
Porque involucran a la expectativa de un producto, la convexidad de ajuste términos implicará la covarianza entre el numéraire y la cantidad que está siendo evaluado.
En este caso específico, una correlación de 1 es generalmente asumido, y la convexidad de ajuste plazo dependerá de la tasa Libor de la volatilidad.
Aquí está un ejemplo suponiendo un lognormal Libor.