El uso de GARCH

Question

Tengo una pregunta conceptual que aún no he conseguido entender y que probablemente sea una pregunta de econometría 101 por aquí va:

Si estimamos un modelo GARCH para una serie temporal, ¿cómo lo utilizamos entonces en mi modelo para los rendimientos? Por ejemplo, tengo los datos de retorno de un índice. Sé que tengo una agrupación de volatilidad en estos datos. Encuentro un modelo GARCH adecuado para la volatilidad (varianza). Ahora bien, si modifico los rendimientos con un modelo adecuado, es decir, un modelo de regresión, y observo los coeficientes y los valores p que arroja, estos valores siguen basándose en los supuestos normales de MCO, ¿no? ¿Cómo puedo utilizar el GARCH en este modelo para obtener coeficientes y valores p que tengan en cuenta las varianzas heteroscedásticas condicionales de la serie temporal?

Answer 1

Cualquier modelo de tipo ARCH requiere siempre un modelo adicional para la media de la serie temporal. Si no se dice nada sobre el modelo de la media, entonces suele ser simplemente una media temporal más un residuo. Por lo tanto, si $y_t$ es su serie temporal estacionaria, el modelo medio sería $$ y_t = \bar{y} + \epsilon_t $$ donde $\bar{y}$ es el valor medio de $y_t$ . Y luego $\epsilon_t$ se supondría que sigue otro modelo de serie temporal, como GARCH(p,q): $$\epsilon_t = \sigma_t z_t$$ $$ \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{q} \alpha_i \epsilon_{t-i} + \sum_{j=1}^{p} \beta_i \sigma_{t-i}^2$$ Sin embargo, puede utilizar cualquier modelo de media para la serie temporal original $y_t$ (como ARIMA) y luego especificar el modelo para los residuos mediante GARCH; sujeto a algunas restricciones de los parámetros.

Una pregunta habitual a este respecto es cómo estimar el modelo. En principio, es preferible una estimación conjunta mediante Máxima Verosimilitud del modelo de media y de volatilidad simultáneamente. Dependiendo del modelo, esto puede conducir a un gran número de parámetros libres que no pueden estimarse con precisión. En estos casos, a veces es preferible estimar primero el modelo de media y luego estimar el modelo de volatilidad a partir de los residuos.

Si se utiliza la estimación conjunta a través de la máxima verosimilitud, se pueden obtener errores estándar correctos de forma normal a través de la matriz de información de Fisher. Cualquier software estadístico debería producirlos por defecto.

Answer 2

Primero se ajusta un modelo ARIMA a los datos de rentabilidad y luego un modelo GARCH a los residuos.