Todo proceso estocástico veo siempre tiene incrementos independientes. Es cierto para:
el movimiento browniano estándar
el movimiento browniano geométrico (?)
Ornstein Uhlenbeck (?)
en general, Levy proceso
etc.
¿Cuáles son los más comunes proceso estocástico utilizado en cuanto a finanzas, que han dependiente de incrementos, es decir, $X(t+h) - X(t)$ no es independiente de $X(t)$ ?
Primero, el movimiento Browniano Geométrico no tiene incrementos independientes. Es sólo Wiener proceso o movimiento Browniano que han independiente de incremento. En virtud de GBM, los incrementos de proceso (suponga que los precios de las acciones) muestran markovian de la propiedad. Esto significa que los cambios en el proceso dependen del nivel de precios actual. En términos simples, la magnitud del cambio en el precio de las acciones al menos dependen de la existente en el nivel de precios. La probabilidad de que el precio de las acciones va a cambiar por \$5 será diferente al precio de la acción es \$100, y cuando el precio de la acción es sólo \$20.
Mismo argumento verdad con Ornstein Uhlenbeck. El detalle de la respuesta de por qué los incrementos en virtud de Ornstein Uhlenbeck, no son al azar se da en Matemáticas S. E. (Nota: El enlace primero fue citado por León en su respuesta.)
Ahora, tu pregunta es:
¿Cuáles son los más comunes proceso estocástico utilizado en cuanto a finanzas, que dependientes incrementos, es decir, $X(t+h)−X(t)$ no independiente de $X(t)$
Para el modelo de proceso estocástico donde los incrementos no son al azar, puede utilizar el ARMA de la clase de modelos. Son muy comunes en las finanzas y ampliamente utilizado para el modelo de valores de retorno y otro proceso(como la tasa de interés, PIB, etc.) demasiado.
Uno de los más famosos de los procesos con la correlación (por lo tanto dependiente) se incrementa es el movimiento Browniano Fraccional.
En este caso $$ E[B_H(t) B_H (s)]=\frac{1}{2} (|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}), $$ donde $H$ es un parámetro. Por $H=1/2$ volvemos a la no correlación de los incrementos, por lo tanto el movimiento Browniano.
Estocástico de tiempo cambiado levy procesos correlacionados incrementos (lo cual es consistente con "racional" de los mercados), pero no independiente. En este modelo, la volatilidad es (de forma heurística) significa revertir mientras que los retornos no están correlacionados. El más simple de estos modelos es el modelo de Heston. Para una visión más completa, véase Carr y Wu papel.
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