Sé que la relativa a la aversión al riesgo se define como $$R(c) = cA(c)=\frac{-cu"(c)}{u'(c)}$$ donde $u(c)$ denota la utilidad de la curva como una función de la riqueza $c$.
Pero no entiendo la intuición para ello. Puede usted explicar la intuición relativa de la aversión al riesgo?
En la teoría de la utilidad de la hipótesis básica es que $u(c)$ es estrictamente monótona creciente de la riqueza: la gente prefiere más a menos. Por lo tanto, $\forall c, u'(c) > 0$. La segunda suposición es que la cantidad de utilidad añadido, como $c$ aumenta, disminuye, por lo que $\forall c, u"(c) < 0$. La combinación de estas dos observaciones tenemos que $$\forall c, A(c) = \frac{-u"(c)}{u'(c)} > 0.$$
Esto se puede interpretar de la siguiente manera, si para un determinado $c$ $u'(c)$ grande $A(c)$ será pequeño. Por lo tanto, si la utilidad de la curva es sensible a los aumentos en la riqueza de la aversión al riesgo es baja. Por $u"(c)$ la inversa se tiene: si $u"(c)$ para un determinado valor de $c$ aversión al riesgo será bajo. $A(c)$ capturas de ambas sensibilidades y también produce algún tipo de un trade-off entre ellos.
La cantidad de $R(c)$ es de sólo us $A(c)$ ajustados por la riqueza. Esta escala tiene la ventaja de que esta cantidad no es sensible a un cambio en numéraire de $c$.
Por cierto, la página de la Wikipedia es excelente.
Relativo de aversión al riesgo tiene una intuitiva explicación económica, y a través de un juguete ejemplo, nos puede arrojar algo de luz sobre su misteriosa en busca de la fórmula. Considere la posibilidad de un agente con relativa constante aversión al riesgo (es decir, de poder o de registro de la utilidad), y algunos de activo fijo "atractivo" (esencialmente, la ratio de sharpe, más sobre esto más adelante). Para el agente de invertir de manera óptima, él quiere invertir una proporción de su riqueza en el activo, y esta proporción es inversamente proporcional a su pariente, la aversión al riesgo. Para los agentes con más general de la función de utilidad, en relación a la aversión al riesgo ya no es constante, por lo que este razonamiento no es cierto a nivel mundial. Lo cierto es, sin embargo, en un infinitesimal sentido. Vamos a entrar en más detalle:
Considere la posibilidad de un período de dos modelo. En el tiempo $t = 0$, el precio de un activo es de $1$. En el tiempo $t = 1$, precio del activo es igual a $1 + \epsilon$ con una probabilidad de $\frac{1}{2}$, y el equivalente a $\frac{1}{1 + \epsilon}$ con una probabilidad de $\frac{1}{2}$. Un agente inicial de la riqueza $c$ y la función de utilidad de $U(\cdot)$. Deseamos determinar $\alpha^*$, la proporción de la agente de la riqueza que se debe invertir para maximizar la espera utilty. Yo reclamo que $\alpha^*$ es proporcional a $\frac{1}{R(c)}$.
Supongamos que el agente invierte $\alpha \%$ de su riqueza. Entonces en vez de $t = 1$, su utilidad esperada es $$ \frac{1}{2} U \a la izquierda(c - c\alpha + c\alpha(1 + \epsilon) \derecho) + \frac{1}{2}U \a la izquierda( c - c\alpha + c\frac{\alpha}{1 + \epsilon} \derecho). $$ Esto puede escribirse como $$ \frac{1}{2}U \a la izquierda(c + c \alpha \epsilon \derecho) + \frac{1}{2}U \a la izquierda(c - \frac{c \alpha \epsilon}{1 + \epsilon} \derecho). $$
Estamos suponiendo que $\epsilon$ es muy pequeña (recordemos que la infinitesimal poco que he mencionado antes), así que vamos a aproximar esta expresión con una expansión de Taylor de segundo orden. Se convierte en $$ U(c) + \frac{1}{2}c \alpha \epsilon U'(c) + \frac{1}{4} c^2\alpha^2 \epsilon^2 U"(c) - \frac{1}{2}\frac{c \alpha \epsilon}{1 + \epsilon}U'(c) + \frac{1}{4}\frac{c^2 \alpha^2 \epsilon^2}{(1 + \epsilon)^2}U"(c). $$ Estamos maximizando la utilidad de aquí, así que queremos elegir la mejor $\alpha$. Ignorando el primer término, que no dependen de $\alpha$, y la combinación de términos, es equivalente a maximizar $$ c \alpha \epsilon U'(c) \frac{\epsilon}{1 + \epsilon} + \frac{1}{2}c^2 \alpha^2 \epsilon^2 U"(c) \left( 1 + \frac{1}{(1 + \epsilon)^2} \right). $$ Dividir a través de por constantes (todo menos de $\alpha$) para obtener $$ \alpha U'(c) \frac{1}{1 + \epsilon} + \frac{1}{2} c \alpha^2 U"(c) \left( 1 + \frac{1}{(1 + \epsilon)^2} \right). $$ Dejar que $\epsilon$ tienden a cero, esto se convierte en $$ \alpha U'(c) + \frac{1}{2} c \alpha^2 U"(c). $$ Tomar derivados con respecto a $\alpha $ y ajustar igual a cero. Esto le da $$ U'(c) + c \alpha U"(c) = 0, $$ o $\alpha^* = -\frac{U'(c)}{c U"(c)}$.
Una última nota. Hay un mecanismo similar sucede en la utilidad esperada problema para poder utilidad en un Black-Scholes mercado, estudiado por Merton hace mucho tiempo. Por ejemplo, cuando la dinámica del mercado siga $$ dX_t = \mu X_t dt + \frac{1}{2} \sigma X_t dW_t, $$ y el agente tiene el poder de utilidad de $U(x) = \frac{1}{\alpha}x^\alpha$, $0 < \alfa < 1$, es óptimo para que el agente mantenga siempre $\frac{\mu}{\sigma}\alpha \%$ de su riqueza en activos de riesgo. Usted puede calcular que la relativa a la aversión al riesgo de un agente tal es $\frac{1}{\alpha}$, y la constante de proporcionalidad, $\frac{\mu}{\sigma}$, es el activo de la ratio de sharpe.
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