Pregunta básica sobre Ito integrales

Question

$Dejar espacio \X(t) =\begin{casos} 2, \qquad\text{si} espacio \0\le t \le 1 \\ 3, \qquad\text{si} \espacio de 1 < t \le 3 \\ -5, \qquad\text{si}\space 3 < t \le 4 \end{casos} $

o en una forumala $X(t) = 2I_{[0,1]}(t)+3_{(1,3]}(t)-5_{(3,4]}(t)$. Dar a los $It\hat{s}$ integral $\int_0^4 X(t)dB(t)$ como una suma de variables aleatorias, dar su distribución, especifique la media y la varianza.

Aquí es lo que he intentado:

$\int_0^4X(t)dB(t) = \int_0^12dB(t)+\int_1^33 db(t)+\int_3^4-5dB(t)$

$=2(B(1)−B(0)) + 3(B(3)−B(1))-5(B(4) B(3))$

Podemos escribir esto como la suma de la Normal de variables Aleatorias:

$\int_0^4X(t)dB(t) = 2N(0,1) + 3N(0,2)−5N(0,1)$

$= N(0,2^2) + N(0,2(3^2)) + N(0,(-5)^2)$

= $N(0,47)$

Por lo tanto, los $It\hat{s}$ integral $\int_0^4X(t)dB(t)$ es Normalmente distribuida con una media de $0$ y variación de $47$.

Estoy en el camino correcto aquí?

Answer 1

Para comprobar @AntoineConze sugerencia de la varianza debe ser: $$\int_0^4 (2_{[0,1]}(t)+3_{(1,3]}(t)-5_{(3,4]}(t))^2\,dt.$$ Desde el apoyo a los dominios son distintos, el producto de dos cualesquiera de los términos $2_{[0,1]}(t), 3_{(1,3]}(t), 5_{(3,4]}(t)$ es idéntica 0, por lo que la integral es justo $$\int_0^4 2^2_{[0,1]}(t)+3^2_{(1,3]}(t)+5^2_{(3,4]}(t)\,dt=4(1-0)+9(3-1)+25(4-3)=47.$$