Si sabemos que la dinámica de $S$, entonces se puede estimar el valor de $S$ en un punto de tiempo, $t$. Aquí, tengo una pregunta acerca de cómo solucionar por $S_t$ por Itô porque he obtenido resultados distintos enfoques diferentes.
Para un movimiento Browniano geométrico: $$dS_t=S_t µ dt+S_t σdW_t,$$ $$\frac{dS_t}{S_t} =µ dt+σdW_t,$$ y, de hecho, tenemos, $$\frac{dS_t}{S_t} =d\ln(S_t).$$ Si hacemos $Z=d\ln(S_t)$, entonces, $$dZ=\frac{\partial Z}{\partial t} dt+\frac{\partial Z}{\partial S_t} dS_t+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 Z}{\partial S_t^2} (dS_t)^2=(µ-\frac{1}{2} σ^2 )dt+σdW_t,$$
$$Z_t= Z_0+\left(μ- \frac{σ^2}{2} \right) \int_0^tds+σ\int_0^tdW_s,$$ $$\ln(S_t )=\ln(S_0 )+(µ-\frac{1}{2} σ^2 )dt+σW_t,$$ $$S_t=S_0 \cdot e^\left((μ- \frac{1}{2} σ^2 )dt+σW_t \derecho).$$
Sin embargo, si puedo usar otro enfoque, luego me sale el resultado diferente. Ya tenemos $\frac{dS_t}{S_t} =d\ln(S_t)$ entonces, $$d\ln(S_t )=µdt+σdW_t$$ y \begin{align} \ln(S_t)&=\ln(S_0)+μ\int_0^tds+σ\int_0^t dW_s \\ &=\ln(S_0)+µt + σW_t, \end{align} $$S_t=S_0 \cdot e^{(µt+σW_t)}$$
Yo creo que ambos enfoques son correctos. Pero, ¿por qué los resultados son distintos?
