Parcialmente responder a esta pregunta, en Macroeconomía Avanzada por Romer, pregunta 1.5(c) pide
"¿Qué tasa de ahorro se necesita para producir el oro-regla de stock de capital?"
Responder a esto nos dice lo $s_{gold}$ es.
Pero antes de que podamos encontrar esto debemos encontrar la regla de oro de nivel de stock de capital $(k_{gold})$. Los que vamos a derivar con las siguientes ecuaciones: El intensivo de la forma de la función de producción, la dinámica del capital en el Modelo de Solow, y el consumo por unidad de trabajo efectivo
\begin{casos}
Y_t = (A_t L_t)^{1-\alpha} K_t^{\alpha} = A_t L_t \left( \frac{K_t}{A_t L_t} \derecho)^{\alpha} = L k^{\alpha} \\
\Rightarrow Y/AL = y = k^{\alpha} \\
\dot{k} = s y - (n+g+\delta) k \\
c = (1-s)y \\
\end{casos}
Debajo de la senda de crecimiento equilibrado, $\dot{k}=0$ para
$$ \displaystyle s k^{* \alpha} = (n+g+\delta)k^* \Rightarrow k^* = \left( \frac{n+g+\delta}{s} \derecho)^{\frac{1}{\alpha-1}} $$
Debemos maximizar $c^*$ con respecto a $k^*$ a definir implícitamente la dorada regla del nivel de capital por unidad de trabajo efectivo
$$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial k^*} c^* = \frac{\partial }{\partial k^*} (1-s)k^{* \alpha} = (1-s)(\alpha k^{* \alpha - 1}) $$
$$ \displaystyle = \alpha (1 - s) \left( \frac{n+g+\delta}{s} \derecho)^{\frac{\alpha-1}{\alpha-1}} $$
Luego, reemplace $s$ con $(n+g+\delta)k^{* 1-\alpha}$
$$ \displaystyle = \alpha (1 - (n+g+\delta)k^{* 1-\alpha}) \left( \frac{n+g+\delta}{(n+g+\delta)k^{* 1-\alpha}} \right) $$
$$ \displaystyle 0 = \alpha (k^{* (\alpha-1)} - (n+g-\delta)) \Rightarrow k^*_{gold} = \left( \frac{\alpha}{n+g+\delta} \derecho)^{1/(1-\alpha)} $$
Finalmente, podemos calcular, $s_{gold}$
$$ \displaystyle s_{gold} = (n+g+\delta) k_{gold}^{*1-\alpha} = (n+g+\delta) \left( \frac{\alpha}{n+g+\delta}\derecho)^{(1-\alpha)/(1-\alpha)} = \alpha $$
Así que para una Cobb-Douglas, la función de producción del oro-regla de la tasa de ahorro debe ser lo $\alpha$ es.
