Centrémonos en el precio del contrato de volatilidad. La generalización a los contratos cúbicos y cuárticos es sencilla.
Siguiendo las anotaciones del documento, la fecha de evaluación es $t$ y los contratos (europeos) expiran todos en $T = t+\tau$ . A contrato de volatilidad se asocia específicamente a la función de recompensa
$$ H[S] = R(t,\tau;S)^2 = \left(\ln S(t+\tau) - \ln S(t) \right)^2 = \left[ \ln \left(\frac{S}{S(t)}\right) \right]^2 $$ donde hemos utilizado la notación del documento $$ S(t+\tau) := S $$
Según teoría de los precios sin arbitraje el precio de un contrato de volatilidad debe calcularse como $$ V(t,\tau) = \mathcal{E}_t^*\left\{ e^{-r \tau} H[S] \right\} $$ donde $\mathcal{E}^*_t\{ \cdot \}$ cifra una expectativa tomada bajo la medida (neutral al riesgo) $\Bbb{Q}$ asociado a la cuenta numérica del mercado monetario sin riesgo, condicionado a la información disponible en $t$ .
El resultado clave para concluir es el Fórmula Carr-Madan (véase las referencias mencionadas en el documento o aquí ), lo que nos indica que -para una función de pago suficientemente regular- se puede escribir la expectativa condicional anterior como $$ \mathcal{E}_t^*\left\{ e^{-r \tau} H[S] \right\} = H[\bar{S}] + (S - \bar{S}) H_S[\bar{S}] + \int_{\bar{S}}^\infty H_{SS}[K] C(t,\tau;K) dK + \int_{0}^\bar{S} H_{SS}[K] P(t,\tau;K) dK \tag{3} $$ para cualquier $\bar{S}$ .
A partir de la definición de $H[S]$ diferenciando obtenemos \begin{align} H_S[S] &= 2 R(t,\tau;S) \frac{1}{S} \\ H_{SS}[S] &= \frac{2}{S^2}(1-R(t,\tau;S)) \end{align}
Ahora simplifiquemos aún más la ecuación $(3)$ al recoger $\bar{S} = S(t)$ . Esta es una opción conveniente ya que significa que los términos que implican $H[\bar{S}]$ y $H_S[\bar{S}]$ desaparecerá (porque $R(t,\tau;\bar{S})=0$ ). Nos queda entonces
\begin{align} \mathcal{E}_t^*\left\{ e^{-r \tau} H[S] \right\} &= \int_{S(t)}^\infty \frac{2 \left(1-\ln\left(\frac{K}{S(t)}\right)\right)}{K^2} C(t,\tau;K) dK + \int_{0}^{S(t)} \frac{2\left(1-\ln\left(\frac{K}{S(t)}\right)\right)}{K^2} P(t,\tau;K) dK \\ &= \int_{S(t)}^\infty \frac{2 \left(1-\ln\left(\frac{K}{S(t)}\right)\right)}{K^2} C(t,\tau;K) dK + \int_{0}^{S(t)} \frac{2\left(1+\ln\left(\frac{S(t)}{K}\right)\right)}{K^2} P(t,\tau;K) dK \tag{7} \\ &= V(t,\tau) \end{align}
¡Eso es!
