¿Cómo se obtienen los momentos neutrales al riesgo del BKM?

Question

He estado investigando mucho sobre la asimetría de la volatilidad implícita, y uno de los documentos más citados que he encontrado es "Stock Return Characteristics, Skew Laws, and the Differential Pricing of Individual Equity Options" por G. Bakshi, N. Kapadia, y D. Madan . En él, fijan el precio de los contratos de volatilidad, cúbicos y cuárticos en la página 107. Explican su derivación en la página 137, pero son muy breves al respecto, y no lo entiendo en absoluto. Sé que tiene algo que ver con las ecuaciones 2 y 3 de la página 106, pero no me cuadra. ¿Podría alguien derivar una de esas ecuaciones para mí explícitamente o proporcionar una referencia a un sitio/papel que lo haga?

Gracias

Answer 1

Centrémonos en el precio del contrato de volatilidad. La generalización a los contratos cúbicos y cuárticos es sencilla.

Siguiendo las anotaciones del documento, la fecha de evaluación es $t$ y los contratos (europeos) expiran todos en $T = t+\tau$ . A contrato de volatilidad se asocia específicamente a la función de recompensa

$$H[S] = R(t,\tau;S)^2 = \left(\ln S(t+\tau) - \ln S(t) \right)^2 = \left[ \ln \left(\frac{S}{S(t)}\right) \right]^2$$ donde hemos utilizado la notación del documento $$S(t+\tau) := S$$

Según teoría de los precios sin arbitraje el precio de un contrato de volatilidad debe calcularse como $$V(t,\tau) = \mathcal{E}_t^*\left\{ e^{-r \tau} H[S] \right\}$$ donde $\mathcal{E}^*_t\{ \cdot \}$ cifra una expectativa tomada bajo la medida (neutral al riesgo) $\Bbb{Q}$ asociado a la cuenta numérica del mercado monetario sin riesgo, condicionado a la información disponible en $t$ .

El resultado clave para concluir es el Fórmula Carr-Madan (véase las referencias mencionadas en el documento o aquí ), lo que nos indica que -para una función de pago suficientemente regular- se puede escribir la expectativa condicional anterior como $$\mathcal{E}_t^*\left\{ e^{-r \tau} H[S] \right\} = H[\bar{S}] + (S - \bar{S}) H_S[\bar{S}] + \int_{\bar{S}}^\infty H_{SS}[K] C(t,\tau;K) dK + \int_{0}^\bar{S} H_{SS}[K] P(t,\tau;K) dK \tag{3}$$ para cualquier $\bar{S}$ .

A partir de la definición de $H[S]$ diferenciando obtenemos $$\begin{align} H_S[S] &= 2 R(t,\tau;S) \frac{1}{S} \\ H_{SS}[S] &= \frac{2}{S^2}(1-R(t,\tau;S)) \end{align}$$

Ahora simplifiquemos aún más la ecuación $(3)$ al recoger $\bar{S} = S(t)$ . Esta es una opción conveniente ya que significa que los términos que implican $H[\bar{S}]$ y $H_S[\bar{S}]$ desaparecerá (porque $R(t,\tau;\bar{S})=0$ ). Nos queda entonces

$$\begin{align} \mathcal{E}_t^*\left\{ e^{-r \tau} H[S] \right\} &= \int_{S(t)}^\infty \frac{2 \left(1-\ln\left(\frac{K}{S(t)}\right)\right)}{K^2} C(t,\tau;K) dK + \int_{0}^{S(t)} \frac{2\left(1-\ln\left(\frac{K}{S(t)}\right)\right)}{K^2} P(t,\tau;K) dK \\ &= \int_{S(t)}^\infty \frac{2 \left(1-\ln\left(\frac{K}{S(t)}\right)\right)}{K^2} C(t,\tau;K) dK + \int_{0}^{S(t)} \frac{2\left(1+\ln\left(\frac{S(t)}{K}\right)\right)}{K^2} P(t,\tau;K) dK \tag{7} \\ &= V(t,\tau) \end{align}$$

¡Eso es!