Utilidad cuasilineal: ¿La optimización de Pareto implica la maximización de la utilidad total?

Question

He leído que si tenemos una utilidad cuasilineal para todos los consumidores, entonces cualquier asignación óptima de pareto maximiza la suma de los niveles de utilidad de todos los consumidores. Es decir:

$\textbf{What we know:}$ $$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$$ $$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$$ $$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$$ $$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$$

$\textbf{What to show:}$ $$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$$

¿Puede alguien aportar una prueba de ello? Cualquier ayuda será muy apreciada.

$\textbf{Edit:}\,$ No sé si este es el camino correcto, pero por la estricta propiedad creciente de $\phi(\,)$ las preferencias satisfacen la no saturación local, lo que implica que satisfacen el primer teorema del bienestar. Ahora bien, si pudiera averiguar si todas las asignaciones óptimas de pareto son equilibrios competitivos con utilidad cuasilineal, ¡podría estar en algo!

Answer 1

No creo que sea cierto en una economía de intercambio puro estándar a la que se refiere la pregunta. Considere el siguiente contraejemplo: Supongamos que

$I = \{1,2\}$ y $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ y $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$ .

y que el conjunto de asignaciones factibles sea

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Obsérvese que la asignación $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ es eficiente en el sentido de Pareto, pero no maximiza la suma de utilidades. La razón es que la asignación $a_2 = ((1,1),(1,1))$ produce la suma más alta.

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

Answer 2

Editar: Los casos límite son un asco; véanse los comentarios. Véase también la sección C, D del capítulo 10 del MWG.

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Supongamos que $(\vec x^*, \vec m^*)$ resuelve

$$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$$

pero no es el óptimo de Pareto.

$$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$$

$$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$$

que es una contradicción. Si tenemos una solución al problema de maximización de la utilidad, debe ser óptima de Pareto.

(Nótese que esto viene de las propiedades continuas y crecientes de $\phi(\cdot)$ )

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Supongamos que $(\vec x^*, \vec m^*)$ es una asignación óptima de Pareto factible, pero no resuelve

$$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$$

Porque tratamos $m_i$ como numerario y $\phi_i(\cdot)$ es estrictamente creciente, sabemos que $u_i(\cdot)$ es localmente no saturado. La asignación de Pareto debe ser simplemente factible.

$$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$$

Si esto es cierto porque esta asignación alternativa simplemente da a un individuo más de $x$ Si todo lo demás es igual, el reparto alternativo es inviable. Así que tendríamos una contradicción.

Si esto es cierto porque en la asignación alternativa se asigna a otra persona más $x$ y sólo a otra persona se le asigna menos, entonces la asignación original no sería óptima de Pareto. Supongamos que lo fuera. Si se toma la asignación original y se desplaza $x$ en el camino de la nueva asignación, entonces se necesitaría un comercio correspondiente en el bien numérico, $m$ , para mantener a quien está perdiendo $x$ al menos al mismo nivel de utilidad. Pero los intercambios de sólo el bien numérico nunca pueden cambiar la utilidad agregada sumada . A partir de la asignación original, si se puede comerciar $m$ para $x$ y hacer que alguien esté mejor sin perjudicar a nadie, no estabas en un óptimo de Pareto, y si no puedes comerciar $m$ para $x$ para que alguien esté mejor, no se puede aumentar la utilidad agregada sumada, lo que significa que la asignación original era una solución al problema de maximización.

Esta lógica se aplica sin importar cómo se reorganice $x$ entre varias personas.

$\square$

Answer 3

Creo que se refiere al siguiente resultado: Cualquier asignación de PE maximiza $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ pero es difícil saberlo con exactitud ya que no se especifica la viabilidad.

Permítanme ser más específico. Para cada $i\in\{1,\ldots,I\}$ , $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ . Una asignación es $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ . El conjunto de asignaciones factibles es $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ . Utilidad de $i\in\{1,\ldots,I\}$ de $a\in F$ es $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ , donde $\phi_{i}$ es estrictamente creciente.

La definición de asignación de PE es estándar: $a\in F$ es PE si $\nexists a'\in F$ tal que $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ para todos $i$ y $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ para algunos $i$ .

Ahora afirmo que si $a$ es PE entonces $a$ es una solución a $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ o, haciendo la maximización con respecto a $x_{i}$ s explícito, $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ s.t. $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$ .

No voy a demostrar la afirmación aquí, pero la idea clave es sencilla y es la siguiente. Supongamos que $a^{*}$ es PE pero no resuelve el problema de maximización. Entonces, podemos encontrar otra opción factible $a'$ tal que $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ . Cierto, en $a'$ en relación con $a^{*}$ , vienen los agentes están peor, pero podemos usar el dinero, $m_{i}$ s, para hacerlos igual de bien que bajo $a^{*}$ y aún así quedaría algo de dinero ya que aumentamos la suma de la utilidad proveniente de $x_{i}$ s.

Otra forma de decir esto es que la suma de la utilidad de $a\in F$ es $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ . Ahora, cualquier asignación que no sea de desperdicio $a\in F$ tendrá el primer término idéntico.

Otra forma de pensar en esto es que $x_{i}$ s determinan el tamaño de la tarta y el dinero, $m_{i}$ s, determinan la redistribución. Por cuasi-linealidad, la disminución de $m_{i}$ en una unidad y aumentando $m_{j}$ por una unidad deja hojas $m_{i}+m_{j}$ sin cambios. Esto no es cierto para $x_{i}$ y $x_{j}$ .

Esto también implica que cualquier $a\in F$ que resuelve el problema de maximización es PE.