Demostración de fórmulas de aproximación para volatilidades implícitas

Question

Estoy intentando calibrar un modelo de volatilidad local con las sonrisas de volatilidad implícita observadas (¡no superficies!, sólo una sonrisa dada para vencimiento fijo).

Me encontré con la siguiente aproximación, y pensé que podría conectar mi fórmula de volatilidad implícita, y resolver para la volatilidad local; $$\sigma_{i}^2(K,T) = \frac{\sigma^2(S(0), 0) + \sigma^2(K,T)}{2}.$$

$\sigma_i$ es la volatilidad implícita.

Sin embargo, mi pregunta es: ¿de dónde procede esta aproximación?

Conozco la fórmula de Dupire, ya sabes la que es una fracción de dos integrales. No la encuentro, ¿pero es de ahí de donde se deriva la aprox? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

Supongamos que la dinámica de la volatilidad local es: $$dS_t/S_t = \sigma(S_t) dW_t^\Bbb{Q} $$ donde acabamos de suponer $r=0$ sin pérdida de generalidad (si $r$ no es cero, sólo necesita un cambio de medida al $T$ -medida de avance).

Supongamos que desea ajustar la sonrisa de volatilidad implícita del mercado $\Sigma(T,K)$ .

Hay ninguna fórmula cerrada expresar $\Sigma(T,K)$ en función de $\sigma(S_t)$ .

Sin embargo, hay un montón de aproximaciones disponibles en la literatura:

• Para las opciones a corto plazo ( $T \to 0$ ), tenemos $$ \Sigma(T,K) \approxeq \frac{\ln(S_0/K)}{\int_K^{S_0} (s\sigma(s))^{-1} ds} $$ conocida como la aproximación BFF (Berestycki, Busca & Florent - 2001). Se puede obtener esta formulación (1) expandiendo la volatilidad local de Dupire en el tiempo (2) asumiendo que la volatilidad implícita también se puede expandir en potencias de tiempo e identificando el orden cero en $T$ condiciones.

• Para las opciones a más largo plazo, se puede ampliar esta última fórmula para obtener: $$ \Sigma(T,K) \approxeq \Sigma_0(K) + \Sigma_1(K) T $$ con $$ \Sigma_0(K) = \frac{\ln(S_0/K)}{\int_K^{S_0} (s \sigma(s))^{-1} ds} $$ $$ \Sigma_1(K) = -\frac{\Sigma_0(K)}{\left( \int_K^{S_0} (s\sigma(s))^{-1} ds \right)^2} \ln \left( \frac{\Sigma_0(K)}{\sqrt{\sigma(S_0)\sigma(K)}} \right) $$

• Para las opciones a corto plazo otra aproximación se debe a Pat Hagan (Hagan, Kumar, Lesniewski & Woodward - 2002) se lee: $$ \Sigma(T,K) \approxeq \sigma(\sqrt{S_0 K} ) $$

Referencias

1. Berestycki, Busca, Florent. (2001). Asintótica y calibración de modelos de volatilidad local. Copia electrónica disponible aquí .

2. Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward. (2002). Gestión del riesgo de sonrisa. Revista Wilmott , 84-108. Copia electrónica disponible aquí

Answer 2

La respuesta de @Quantuple es correcta. No existe una fórmula exacta de forma cerrada para los precios de compra o los vols implícitos como función de los vols locales, lo cual es único e irónico, dado que existen fórmulas a la inversa. Lo más parecido a una fórmula exacta práctica, que yo sepa, es la expansión armónica de vencimientos cortos que se indica en la respuesta.

Sin embargo (y esto es una respuesta directa a tu pregunta), la fórmula llamada "sigma-cero" sí proporciona una expresión exacta para el vol implícito en función de los vol locales, aunque se trata de una fórmula implícita, y la evaluación de algunos de sus términos requiere una implementación numérica. Por lo tanto, esta fórmula, a pesar de ser exacta, no es directamente utilizable en la práctica.

Aquí está la fórmula (esta es una fórmula más general que también funciona con la volatilidad estocástica, para la volatilidad local, sustituya la expectativa condicional de la varianza local por el cuadrado de la vol local):

• La varianza implícita es una media ponderada de las varianzas locales a lo largo del tiempo y de los puntos.
• Las ponderaciones son el producto de la densidad de probabilidad (que no se conoce analíticamente en los modelos de vol local y debe calcularse numéricamente, por ejemplo con FDM sobre la ecuación de Fokker-Planck) por la gamma (calculada en Black-Scholes con el vol implícito resultante, lo que hace que la fórmula sea implícita).

Para ver una demostración, consulte este vídeo: Antoine Savine, RiO2018 o acceda a sus diapositivas en SlideShare . También puede consultar mis apuntes de clase aquí diapositivas 71-78.

Nótese que la fórmula sigma-cero también fue encontrada (pero no publicada) por Dupire, y su demostración es particularmente esclarecedora, en lo que procede de un análisis de errores de cobertura.

A pesar de su impracticabilidad, esta fórmula ofrece una profunda intuición de cómo se combinan las vols locales para producir los precios de las opciones europeas y las vols implícitas, y ha sido la base de una ingente cantidad de trabajo para encontrar aproximaciones prácticas más o menos precisas, más o menos complicadas, entre las que destaca la de Blacher (véase su charla en RiO 2018 sobre YouTube ) y Gatheral (en su famoso libro de texto Volatility Surface).

La más sencilla de estas aproximaciones (¡pero sin duda no la más exacta!) consiste en observar, como se ve en la imagen, que la densidad de probabilidad es máxima en el punto actual, mientras que la gamma es máxima en el golpe de madurez, por lo que una aproximación sencilla consiste en promediar las varianzas locales de estos dos puntos, ignorando el resto de la superficie.

Y esta es exactamente la aproximación por la que pregunta :)