La manera en que yo entiendo de tu pregunta es que si usted está buscando para el ajuste de los precios de mercado de Europeo plain vanilla opciones de un solo madurez y, a continuación, vuelve a salir el correspondiente implícita función de densidad de probabilidad. Hay varias maneras que usted podría acercarse a su problema.
1) la Modelización de los Precios de Mercado
Los precios de mercado de Europeo plain vanilla llamadas tienen que ser estrictamente decreciente y convexa en la huelga. Un enfoque para la decoración que más me gusta es debido a Fengler (2009). Él utiliza cubic splines de suavizado y obtiene una ecuación cuadrática programa que puede ser resuelto de manera muy eficiente. Dado el polinomio a trozos representación de la opción de los precios, usted puede fácilmente calcular las correspondientes densidades en forma cerrada, el uso de la relación usual
\begin{ecuación}
e^{r} \frac{\partial^2 C_0}{\partial K^2}(K) = \mathbb{Q}(K),
\end{ecuación}
donde $\mathbb{Q}(K)$ es la implícita función de densidad de probabilidad en la huelga de $K$. Dado que el ajuste es muy flexible, sólo asegurando la ausencia de arbitraje, la densidad resultante también puede ser bi-modal.
2) la Modelización de la Volatilidad Implícita Sonrisa
Alternativamente, usted podría ajuste paramétrico forma $\sigma_{\text{IV}}(K)$ a la correspondiente de la volatilidad implícita sonrisa y, a continuación, utilizar la relación
\begin{eqnarray}
\mathbb{Q}(K) & = & S_0 e^{r} \phi \left( d+ \derecho) \sqrt{T} \left\{ \frac{\partial^2 \sigma_{\text{IV}}}{\partial K^2}(K) + 2 \frac{d+}{K \sigma_{\text{IV}}(K) \sqrt{T}} \frac{\partial \sigma_{\text{IV}}}{\partial K}(K) \right.\\
& & + \left. \frac{d+ d_-}{\sigma_{\text{IV}}(K)} \left( \frac{\partial \sigma_{\text{IV}}}{\partial K} \derecho)^2 + \frac{1}{K^2 \sigma_{\text{IV}}(K) T} \right\},
\end{eqnarray}
ver, por ejemplo, Fengler (2005) para más detalles.
Sin embargo, muchas de las parametrizaciones no ser capaz de adaptarse a un bi-modal implícita de densidad de probabilidad. Una alternativa es usar un polinomio de grado $$ n, la volatilidad implícita a lo largo de las líneas
\begin{ecuación}
\sigma_{\text{IV}}(k) = a_0 + a_1 k + a_2 k^2 + \sum_{i = 3}^n \left( a_{i, +} k^i \mathrm{1} \{ k \geq 0 \} + a_{i, -} k^i \mathrm{1} \{ k < 0 \} \derecho),
\end{ecuación}
donde $k = \ln \left( K / F_0(T) \right)$ es la logarítmica moneyness. Si bien esta es una flexible configuración de parámetros para la cerca-el-dinero comillas, tendría que ocuparse por separado de las alas. Si se eligen adecuadamente, esto tiene la ventaja de que i) se puede encajar muy flexible formas, ii) el problema de calibración es lineal y iii) usted puede relativamente fácil de aplicar la fórmula anterior para calcular el implícita de densidad de probabilidad en forma cerrada. Sin embargo, no asegura que el resultado de la calibración es libre de arbitraje. Una muy similar, es utilizar una placa delgada de splines. Tiene las mismas ventajas/desventajas.
Si usted termina encima de elegir una forma paramétrica por la volatilidad implícita sonrisa que no se puede diferenciar analíticamente, entonces siempre se puede recurrir a la diferenciación automática de las bibliotecas. Estos pueden ayudarle a tomar exacto derivados (como contraposición a las diferencias finitas) casi de funciones arbitrarias.
3) la Modelización de la Distribución Implícita
Por último, puede colocarse directamente el implícita de distribución. Como usted menciona bi-modal de probabilidad densidades, supongo que usted está interesado en situaciones donde un salto con un tiempo previsible de incidencia es de un precio (por ejemplo, trimestral ganar informes). Imagine que su "normal" (como en todo momento, excepto para el salto) logarítmica devuelve seguir algunas Levy proceso de $X$, es decir,
\begin{ecuación}
\ln \left( S_t / S_0 \right) = \gamma t + X_t,
\end{ecuación}
donde $\gamma$ es cierta deriva del término (que usted necesita para elegir tal que el precio de las acciones se convierte en una martingala). Usted puede entonces aumentar estas dinámicas por una sola predicción de salto $Y$
\begin{ecuación}
\ln \left( S_t / S_0 \right) = \gamma t + X_t + Y \mathrm{1} \left\{ t \geq t_J \derecho\}
\end{ecuación}
donde $Y$ de la siguiente manera por ejemplo, una Gaussiana mezcla con función de densidad de probabilidad
\begin{ecuación}
f_Y(X) = p \phi \left( x; \mu_+, \sigma_+ \derecho) + (1 - p) \phi \left( x; \mu_-; \sigma_- \derecho).
\end{ecuación}
Aquí $p$ es la probabilidad de un salto y $\phi(x; \mu \sigma)$ es el estándar normal de la función de densidad de probabilidad. La correspondiente función característica puede ser calculado en forma cerrada. A continuación, utilice por ejemplo, los Fang y Osterlee (2008) COS método para la fijación de precios y calibrar los parámetros con los precios de mercado de la europa de la llanura opciones de vainilla. Por último, puede utilizar el mismo método para calcular la densidad implícita de su modelo calibrado. La belleza de este enfoque es que se puede obtener muy fácil de interpretar parámetros.
Sin embargo, otra posibilidad para adaptarse a la implícitas de densidad de probabilidad directamente es mediante el uso de una bacteria Gram-Charlier expansión de la serie de la distribución normal. El último es directamente con parámetros en los momentos de orden superior y la opción de los precios puede ser calculada de manera muy eficiente. Una buena referencia es Schloegel (2013).
Ejemplo
La imagen de abajo es la implícita la densidad de Amazon como de 27 de octubre de 2016 para el vencimiento el 4 de noviembre de 2016. Amazon fue el reporte de sus ganancias trimestrales tras el cierre del mercado en ese día. El implícita la densidad fue calculada utilizando el método 1). El rojo de línea discontinua es el precio de cierre de pre figuras y negro de la línea discontinua es el precio de apertura de correos figuras.
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Referencias
Fang Fang y Cornelis W. Oosterlee (2008) "Un Novedoso Método de fijación de Precios de Opciones Europeo Basado en la transformada de Fourier-Coseno de la Serie de Expansiones", Siam Journal de Computación Científica, Vol. 31, Nº 2, pp 826-848
Fengler, Matías R. (2005) "Semiparamétrico de Modelado de la Volatilidad Implícita", Springer Finanzas
Fengler, Matías R. (2009) "el Arbitraje Libre de Suavizado de la Volatilidad Implícita de la Superficie", en Finanzas Cuantitativas, Vol. 9, Nº 4, pp 417-428
Schloegel, Erik (2013) "la Opción de fijación de Precios en Donde el activo Subyacente Sigue un Gramo/Charlier Densidad de Orden Arbitrario", Revista de la Dinámica Económica y de Control, Vol. 37, Nº 3, pp 611-632
