Tal vez soy un poco tarde a la fiesta, pero quiero dar un tiro. Como en Campbell y Shiller, de inicio a partir de la identidad $R_{t+1}\equiv\frac{P_{t+1}+D_{t+1}}{P_t}$ donde $R_{t+1}$ es la rentabilidad bruta entre el tiempo $t$ y $t+1$, y $P_t$ es el precio en el tiempo $t$. Reorganizar la relación como $R_{t+1} =\frac{D{t+1}}{D_t}\frac{\left(1+\frac{P_{t+1}}{D_{t+1}}\right)}{\frac{P_t}{D_t}}$. Tomar registros de ambos lados y obtenemos:
$$r_{t+1}=\Delta d_{t+1}-pd_t+log\left(1+e^{pd_{t+1}}\right)\aprox k+\Delta d_{t+1}-pd_t+\rho pd_{t+1}$$ donde $r_{t+1}=logR_{t+1}$, $\Delta d_{t+1}=log \left(\frac{D{t+1}}{D_t}\right)$, $pd_t=log\left(\frac{P_t}{D_t}\right)$ y $k$ y $\rho$ son constantes provenientes de la expansión de Taylor de $registro\left(1+e^x\right)\aprox k+\rho$x.Para más detalles puedes consultar aquí.
Puede reorganizar y recorrer hacia adelante para obtener:
\begin{ecuación}
pd_t = k + \sum_{j=0}^\infty\rho^j\Delta d_{t+1+j} - \sum_{j=0}^\infty\rho^j r_{t+1+j}
\end{ecuación}
Desde aquí se puede calcular
$$var\left(pd_t\derecho)=Cov\left(pd_t,\sum_{j=0}^\infty\rho^j\Delta d_{t+1+j}\derecho)-Cov\left(pd_t,\sum_{j=0}^\infty\rho^j r_{t+1+j}\right)$$ y por lo tanto la clave de la relación $$1=\frac{Vc\left(pd_t,\sum_{j=0}^\infty\rho^j\Delta d_{t+1+j}\right)}{var\left(pd_t\derecho)}-\frac{Vc\left(pd_t,\sum_{j=0}^\infty\rho^j r_{t+1+j}\right)}{var\left(pd_t\derecho)}=\beta_{d}-\beta_r$$ donde $\beta_d$ es el OLS estimación de una regresión al futuro de dividendos crecimientos en $pd_t$ y $\beta_r$ de registro-devuelve en $pd_t$.
Cochrane punto de partida es exactamente de 1 $=\beta_d-\beta_r$. Cualquier hipótesis sobre $\beta_r$, es decir, si los rendimientos son predecibles a partir del precio-la proporción de dividendos, genera un "doble" hipótesis sobre $\beta_d$, es decir, si el crecimiento de dividendos puede predecirse utilizando el precio-la proporción de dividendos!
Así, por ejemplo, vamos a suponer que los rendimientos son, de hecho, NO son predecibles, es decir, $\beta_r=0$, entonces nos debe esperar que $\beta_d=1+\beta_r=1$. Una prueba de no retorno previsibilidad implica un conjunto de prueba de $\beta_r=0$ Y $\beta_d=1$.
Cochrane hace exactamente esto. Él simula conjuntamente $\beta_r$ y $\beta_d$ y muestra que en la anulación de $\beta_r=0$ el coeficiente de $\beta_d$ es mucho más extrema que la que observamos en los datos. Citando el documento:
En suma, la falta de dividendo previsibilidad en los datos le da mucho más fuerte
estadístico de prueba en contra de la nula de que la presencia de devolver la previsibilidad.[...]En virtud de la
unforecastable-devolver null, podemos ver el retorno de previsión de los coeficientes de tan grandes o
más grandes que aquellos en los datos sobre el 20% del tiempo y un t-estadístico como grandes
como la que se observa en los datos sobre el 10% del tiempo. Sin embargo, me parece que la
ausencia de dividendos de crecimiento de la previsibilidad ofrece mucho más significativo
la evidencia en contra de la anulación. El mejor número total es de un 1-2% de probabilidad
valor (última fila de la Tabla 5)-el crecimiento de dividendos a no ser forecastable en sólo
1-2% de las muestras generadas en el valor null. La evidencia, como
en Sherlock Holmes, el famoso caso, es el perro que no ladra.
