Volatilidad implícita a plazo

Question

¿Se puede valorar con precisión, utilizando únicamente opciones vainilla, un derivado que está expuesto/sensible principalmente a la volatilidad a plazo?

Si es imposible, ¿por qué escuchamos a veces que "estar largo en un straddle con fecha larga y corto en un straddle con fecha corta" es estar expuesto a la volatilidad hacia adelante?

He aquí algunos ejemplos:

a) En los mercados de renta variable :

        - pricing a volatility swap starting in 1y and expiring 1y later.

        - pricing a forward starting option with the strike determined in 1y as 100% of the spot and expiring in 5y.

b) En los mercados de tipos : (FVA swaption) un Swaption 1y5y5y, que es un swaption 6y5y con el strike determinado en 1y.

En el mundo de la equidad, una forma de expresar la pregunta es : Si utilizamos un modelo suficientemente rico como el modelo de volatilidad local estocástica (SLV) en el que el componente local del modelo se calibra sobre las vainillas (por lo tanto, el precio de cualquier vainilla será único independientemente de la elección de la parte estocástica). ¿Proporcionaría nuestro modelo un precio único de los instrumentos mencionados, independientemente de la elección del componente estocástico?

Answer 1

Desde el punto de vista de la renta variable, hay dos conceptos que no deben confundirse, en mi opinión, y el contexto debería hacer que la distinción sea evidente:

• Volatilidad del swap de varianza a plazo (A)
• Sonrisa de volatilidad implícita a plazo (B)

Realmente recomiendo la lectura de "Stochastic Volatility Modeling" de Bergomi, que es un libro excelente para los profesionales de la renta variable. Los temas que has mencionado se tratan con gran cantidad de detalles.

---

Para dar una visión más teórica, en lo que sigue supondré que el subyacente sigue un proceso de difusión puro (es decir, sin saltos). También consideraré dos tipos de instrumentos:

1. Idealizado intercambios de varianza que pagan al vencimiento $$ \phi_{VS}(T) = A \,\,\underbrace{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \ln\left(\frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}\right)^2}_{\text{realised $ \N - delta t = T/N $ returns variance}} - \underbrace{\hat{\sigma}^2}_{\text{VS variance}}$$ donde $t_0 = 0 < \dots < t_i < \dots < t_N = T$ representa una partición del horizonte $[0,T]$ , $A = N/T$ es un factor de anualización y cuando digo idealizado me refiero a que $N \to \infty$ de manera que la varianza de los rendimientos realizados a lo largo del horizonte puede sustituirse por la variación cuadrática del proceso de precios logarítmicos a lo largo de $[0,T]$ tal que $$ \phi_{VS}(T) = \frac{1}{T}\langle \ln S \rangle_T - \hat{\sigma}^2_T $$ Dado que el swap de varianza se contabiliza a coste cero al inicio, tenemos que \begin{align} \hat{\sigma}^2_T &= \frac{1}{T} \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ \langle \ln S \rangle_T \right] \\ &= -\frac{2}{T} \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ \ln\left( \frac{S_T}{F_T} \right) \right] \tag{1} \end{align} ver por ejemplo este excelente respuesta de Gordon.

2. Opciones de arranque hacia delante Por ejemplo, una llamada de salida hacia adelante que paga: $$ \phi_{FS}(T=T_2) = \left( \frac{S_{T_2}/F_{T_2}}{S_{T_1}/F_{T_1}} - k \right)^+ $$ para una fecha de inicio de la vida útil hacia adelante $T_1$ y el tenor $\tau = T_2-T_1$ con dinero fijo $k$ . Para demostrar mi punto de vista, consideraré además un modelo de difusión homogéneo tal que podemos escribir sucesivamente el precio de la opción de salida a plazo como \begin{align} V(k,T_1,T_2) &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q}\left[ \left( \frac{S_{T_2}/F_{T_2}}{S_{T_1}/F_{T_1}} - k \right)^+ \right] \\ &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q}\left[ \Bbb{E}_1^\Bbb{Q}\left[ \left( \frac{S_{T_2}/F_{T_2}}{S_{T_1}/F_{T_1}} - k \right)^+ \right] \right] \\ &= \Bbb{E}_0^\Bbb{Q}\left[ \frac{F_{T_1}}{S_{T_1} F_{T_2}} C\left( S_{T_1}, K=k S_{T_1} \frac{F_{T_2}}{F_{T_1}} , \tau=T_2-T_1; \hat{\sigma}^{T_1T_2}_k \right) \right] \\ &= \frac{F_{T_1}}{F_{T_2}} \Bbb{E}_0^\Bbb{Q}\left[ C\left(1, K=k \frac{F_{T_2}}{F_{T_1}} , \tau=T_2-T_1; \hat{\sigma}^{T_1 T_2}_k \right) \right] \tag{2} \end{align} donde hemos definido $\hat{\sigma}^{T_1T_2}_k$ como la volatilidad futura implícita en $T_1$ de las opciones de los tenores $T_2-T_1$ y el dinero $k$ .

---

Como habrás adivinado, los dos conceptos de "volatilidad a plazo" (A) y (B) que he introducido al principio están relacionados con los dos instrumentos anteriores de la siguiente manera:

1. Volatilidad de VS a futuro vista de $T_1$ para el tenor $T_2-T_1$ que denotaré por $\hat{\sigma}_{T_1 T_2}$ puede definirse como $$ \hat{\sigma}_{T_1 T_2}^2 = \frac{1}{T_2-T_1} \Bbb{E}_0^\Bbb{Q}\left[ \int_{T_1}^{T_2} d\langle \ln S \rangle_t \right] = \frac{T_2 \hat{\sigma}_{T_2}^2 - T_1 \hat{\sigma}_{T_1}^2}{T_2-T_1} $$ Como puede ver, esto equivale a negociar en un diferencial de calendario de VS de vencimientos frescos $(T_1,T_2)$ . Según la fórmula $(1)$ el precio de cada una de estas VS de nueva creación sólo depende de la distribución incondicional de $S_t$ en $t = T_1$ y $t=T_2$ . Por la identidad Breeden-Litzenberger esto significa que en cuanto se conocen (o se tiene un modelo calibrado para que se ajuste perfectamente) los precios de todas las vainillas a los vencimientos $T_1$ y $T_2$ entonces el VS a futuro tendrá un precio inequívoco. En consecuencia, tanto un modelo de LV como de SV perfectamente calibrado para el mercado de vainilla arrojará los mismos precios para estos instrumentos bajo los supuestos de modelización que he hecho (difusión pura + swaps de varianza idealizados).

2. Según la fórmula $(2)$ se ve que para una opción de salida a plazo, el verdadero subyacente de la opción no es "la acción" en sí, sino la volatilidad implícita futura $\sigma_k^{T_1 T_2}$ una información que simplemente no está codificada en una opción vainilla europea. Por ello, las volatilidades implícitas a plazo $\sigma_k^{T_1 T_2}$ no puede determinarse, en general, a partir de la sonrisa de vainilla actual. La dinámica de $\sigma_k^{T_1 T_2}$ está más bien "incrustado" en el modelo (o, lo que es lo mismo, en los supuestos que está dispuesto a utilizar, como menciona Attack68 en su respuesta). Esto significa que un modelo LV y un modelo SV, ambos perfectamente calibrados para el mercado vainilla, producirán en general diferentes dinámicas de volatilidad implícita, y por lo tanto, diferentes precios de opciones de salida a plazo.

Algunas observaciones adicionales:

• En los modelos LSV como los que has descrito, generalmente se configuran los parámetros de la capa SV para afinar el dinámica del modelo (es decir, las distribuciones condicionales) y calibrar la capa LV para asegurarse de que el estática de su modelo es consistente con la sonrisa actual (es decir, las distribuciones incondicionales). Al menos, esto es lo que debería permitirle un modelo LSV manejable. Así que la respuesta es no, si su único objetivo es calibrar su modelo para el mercado vainilla, entonces definitivamente el precio de las opciones de salida a plazo no será único porque hay infinitas maneras de hacerlo.
• El diferencial de calendario de los straddles que mencionas es similar al diferencial de calendario de los swaps de varianza en el sentido de que su precio estará determinado inequívocamente por la distribución incondicional del subyacente (es un diferencial de calendario de los instrumentos europeos de vainilla). Así que sí, te da exposición a lo que podríamos llamar "forward vol", pero es más parecido a un "forward VS vol" anterior que a una opción de salida forward.

Answer 2

Es posible, sí, pero requiere supuestos. Pero, filosóficamente hablando, esto es así como con todos los precios, de cualquier instrumento. Por ejemplo, teniendo en cuenta únicamente el precio de un IRS de 6 años y de 7 años, ¿se puede fijar correctamente el precio del IRS de 6,5 años? Bueno, sí se puede, pero depende de las suposiciones sobre la interpolación, que es una elección subjetiva.

Veamos específicamente su pregunta sobre el swaption :

¿Se puede fijar el precio del forward 5Y5Y vol 1Y, denotado $\sigma^{5Y5Y\_1Y}$ ?

Componente 1: Volatilidad a plazo

Los dos componentes que necesito para fijar el precio de esta volatilidad a futuro son:

• El vol 6Y5Y (swap de 5 años a 6 años),
• El vol 1Y5Y5Y (swap de 1 año 5Y5Y).
• Supuestos de modelización.

Ahora tiene un marco para equiparar esto matemáticamente modelando los supuestos sobre los movimientos del mercado. Si, por ejemplo, se modela con distribuciones normales de los movimientos del mercado, la fórmula resultante es bastante genérica:

$$\sigma^{5Y5Y\_1Y} = \sqrt{\frac{6(\sigma^{6Y5Y})^2-1(\sigma^{1Y5Y5Y})^2}{6-1}}$$

Gráficamente tienes:

+-------------------------+------------------+
|      6Y EXPIRY          |     5Y SWAP      |   =  Benchmark price
+-------------------------+------------------+
| 1Y EXP. |  5Y FWD       |     5Y SWAP      |   =  Composit price
+-------------------------+------------------+
| 1Y FWD  |  5Y EXPIRY    |     5Y SWAP      |   =  Implied, required price.
+-------------------------+------------------+

Componente 2: Volatilidad de un forward, es decir, curva media

Observará que lo anterior utilizó la información de vol en el 1Y5Y5Y. Sin embargo, esto no existe como producto de referencia. De hecho, ni siquiera es un swaption negociado en vainilla.

Para calcular este precio se necesita la información sobre:

• 1Y5Y vol (1y expiry 5y swap)
• 1Y10Y vol (1y expiry 10y swap)
• el esperado correlación entre los índices anteriores en el próximo año.
• algunas hipótesis de modelización sobre el cambio de los deltas y los factores de descuento modelizados en todos los escenarios.

Gráficamente tienes:

+-------------------------+
| 1Y EXP. |  5Y SWAP      |                      =  Benchmark price
+-------------------------+------------------+
| 1Y EXP. |         10Y SWAP                 |   =  Benchmark price 
+-------------------------+------------------+
| 1Y EXP. |  5Y FWD       |     5Y SWAP      |   =  Composit Price
+-------------------------+------------------+

El componente de correlación puede deducirse a veces de los mercados exóticos de swaptions en los que se cotizan las opciones de diferencial de la curva, por ejemplo, una opción de compra sobre la curva 5s10s.

Conclusión

Comencé esta respuesta con es posible, sí pero a la luz de la complejidad puedo ver por qué mucha gente simplemente dice que no porque la varianza de la precisión, sujeta a todas las suposiciones del modelo, que lleva a niveles de confianza débiles en el precio está muy lejos de la confianza de fijar el precio de un swap de 6,5 años a partir del precio del IRS de 6 años y 7 años.

En cuanto a la negociación de la exposición al riesgo específicamente de este componente, no sé la respuesta, pero dudo mucho que sea posible, a no ser que sea muy complicado con algún proceso mecánico demasiado caro que cubra constantemente los cambios en las exposiciones exóticas.

Referencias:

Este material está mejor explicado y es más claro en Darbyshire: Pricing and Trading Interest Rate Derivatives.

Answer 3

El procedimiento expuesto por @attack68 es correcto para estimar la volatilidad a plazo suponiendo que se está en un mundo donde la volatilidad es determinista y no está correlacionada con el subyacente. Si estos supuestos no son válidos, la situación es más complicada.

Tomando su ejemplo, supongamos que usted vende un contrato de vol a plazo de 100 mm de dólares sobre un swaption straddle a 5 años, que se liquida dentro de 1 año, con una volatilidad normalizada de 70 puntos básicos anuales. Esto significa que dentro de un año usted venderá a su cliente 100 mm de dólares de un swaption straddle a 5 años que se negociará al tipo de interés a plazo de 5 años en ese momento. Como cobertura, usted compra 100 mm de dólares de un swaption straddle a 6 años y vende 100 mm de dólares de una opción a 1 año sobre un tipo de interés a 5 años, ambos al tipo a plazo de hoy (digamos 3 puntos porcentuales). ¿Qué ocurre? Si durante el próximo año, el mercado se aleja de los 3 puntos (digamos 5 puntos), su cobertura es de hecho igual al valor de 200 mm de una swapción a 5 años y 3 puntos, que no tiene mucha exposición a la vega, ciertamente mucho menos que la operación que está tratando de cubrir.

Así, para mantener la vega de la cobertura neutral frente a la operación, es necesario adquirir más cobertura a medida que el subyacente se aleja del 3pct. La nueva cobertura depende de la volatilidad implícita en esas fechas futuras. Por tanto, se depende mucho de la trayectoria de la volatilidad frente a los tipos, y de la interrelación entre ambos.

Así que el simple cálculo de vol. a plazo de @attack68 funciona como una buena estimación de la expectativa del mercado de vol. a plazo, pero no forma una cobertura estática, por lo que no se puede utilizar para bloquear realmente el vol. a plazo.