Control estocástico (HJB) para el proceso de riqueza que involucra tiempos de parada

Question

Dado un proceso de riqueza que evoluciona como $$d w_t = r w_t dt + \theta_t ( \sigma dW_t + (\mu-r) dt) - c_t dt.$$ donde $\theta_t$ es el valor de mantener en el tiempo $t$ y $c_t$ es la corriente de consumo.

También, definimos funciones suaves $u,F: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$.

¿Cómo podemos optimizar lo siguiente:

$$V(w) = \sup_{c \geq 0, \, \theta, \, \tau} \mathbb{E} \bigg[ \int_0^{\tau} e^{- \rho t} u (c_t) dt + e^{-\rho \tau} F(w_{\tau}) \bigg| w_0 =w \bigg],$$ donde $\tau$ es un tiempo de parada.

El método tradicional de utilizar el HJB y el principio de martingala de control óptimo no parece funcionar en este caso, cuando está involucrado el tiempo de parada.

¿Alguna sugerencia sobre cómo optimizar esto?

Answer 1

Este es un problema estándar de control óptimo combinado y control estocástico óptimo.

Estás buscando un control $u=(\theta,c)$ y tiempo de parada $\tau$ que maximice la función de rendimiento de la forma:

$$J^{(u,\tau)}(w):=\mathbb{E}^{w} \bigg[ \int_0^{\tau} e^{- \rho t} u (c_t) dt + e^{-\rho \tau} F(w_{\tau})\chi_{\{\tau<+\infty\}}\bigg]$$

No voy a escribir toda la teoría (el teorema de verificación HJB es bastante largo) pero todo lo que necesitas lo puedes encontrar en este libro (en una forma aún más general, es decir, cuando la dinámica de $w_{t}$ incluye saltos. Para tu problema simplemente ignora los saltos en el libro a continuación.):

Autores: Bernt Oksendal, Agnes Sulem

Título: Control Estocástico Aplicado de Difusiones con Saltos

Capítulo: 4. Control Óptimo Combinado y Control Estocástico de Difusiones con Saltos

Página: 65

Segunda Edición