Interpretar los resultados de la simulación ( $P$ y $Q$ medidas)

Question

Tengo problemas para interpretar los resultados de mis simulaciones. Utilizo el algoritmo de Monte Carlo para simular las trayectorias de las acciones y calcular el precio de las opciones. La notación: $r$ es un tipo de interés libre de riesgo, $T$ es el tiempo de maduración, $K$ - de una opción, $S_T$ - precio de las acciones en el momento $T$ , $\sigma$ - volatilidad de los rendimientos logarítmicos de las acciones, $c$ - precio de una opción de compra, $t$ es un paso de tiempo.

Primero simulo las trayectorias de las acciones asumiendo que el precio de las acciones sigue GBM proceso y calcular el precio de la opción. Supongamos que $r = 0.05$ , $K = 70$ , $S_0 = 70$ , $\sigma = 0.3$ , $T = 0.28 $ (100 días). Número de sims $N = 1000$ y habrá 700 movimientos de acciones en cada camino (7 cada día). Obtengo $c = 5.008$ .

BSM con los mismos parámetros da $c = 4.88$

Ahora asumo que los rendimientos del registro pueden ser descritos por NIG distribución con parámetros $\mu$ , $\beta$ , $\delta$ , $\alpha$ y ese registro vuelve, $r_i$ se puede calcular como (ver este pregunta ): $$r_i = \hat\mu + \hat\beta\sigma_i^2 + \sigma_i\varepsilon_i$$ donde $\sigma^2 \sim IG(\hat\delta/\hat\gamma, \hat\delta^2)$ , $\varepsilon \sim N(0, 1)$ .

He estimado los parámetros de la distribución NIG utilizando Google por hora rendimientos para el año 2015 ( $\sigma = 0.29$ ). Después de ejecutar la simulación obtengo $c = 8.77$ que es mucho mayor que el precio BSM y el precio obtenido por la simulación GBM.

La razón es que la tasa de crecimiento en este último modelo es mayor que en el GBM. Para el modelo NIG el valor esperado para la tasa de crecimiento $R_T$ durante 100 días (700 movimientos, 7 cada día) es $$\mathbb{E}(R_T^{NIG}) = \left(\exp\left[\hat\mu + \hat\beta\frac{\hat\delta}{\hat\gamma}\right]\right)^{700} = 1.083$$

mientras que la tasa de crecimiento esperada de GBM es $$\mathbb{E}(R_T^{GBM}) = \left[\exp(r - 0.5\sigma^2)t\right]^{700} = 1.00139$$

Por último, la pregunta Si quiero vender una opción, ¿qué modelo debo utilizar? Intuitivamente, debería ser el GBM porque cotiza por debajo de $\mathbb{Q}$ medida. Pero por qué uno quiere construir diferentes modelos que los precios en el mundo real $\mathbb{P}$ medida, por ejemplo, el modelo NIG anterior? ¿Y cuáles son sus aplicaciones?

Answer 1

Creo que la confusión surge por el tratamiento erróneo de NIG. La respuesta a la pregunta que enlazas es engañosa, ya que simula bajo P lo que no es apropiado para la valoración de opciones. Ninguno de los parámetros de NIG bajo P se traslada a Q en general, pero especialmente la deriva es el problema aquí. Primero use la función mom gen de NIG para encontrar la corrección de deriva apropiada, y entonces funcionará.

Edit: También me parece que estás mezclando horizontes temporales aquí. Poner vol 30% en BS me parece un vol anualizado, pero luego pones tiempo hasta el vencimiento igual a 100, lo que significa 100 años. Es bastante básico tener las unidades ordenadas. Tal y como lo has presentado no puedo entender en qué unidades se expresa NIG.

Answer 2

Deberías ver esto como un comentario a la respuesta de @Kiwiakos que ya dio en la diana.

En la pregunta de SE a la que te refieres y a la que he respondido, la idea era simplemente proporcionarte una forma sólida de simular rendimientos a partir de una distribución NIG.

Sucede que, por la razón que sea, usted decidió calibrar los parámetros de su NIG basándose en series temporales históricas, de ahí que la información proporcionada en $\mathbb{P}$ .

Opciones de precios bajo $\mathbb{P}$ es posible . Sin embargo, generalmente se prefiere utilizar una medida de martingala equivalente $\mathbb{Q}$ donde los precios de las opciones pueden expresarse como expectativas descontadas (interpretación intuitiva + buen tratamiento matemático basado en el cálculo estocástico y la teoría de la martingala).

Por supuesto, el precio de la opción es en sí mismo una cantidad única: no cambia si se expresa bajo $\mathbb{P}$ o bajo $\mathbb{Q}$ . Utilizando la medida $\mathbb{Q}$ debe considerarse simplemente como un truco inteligente para librarse del problema de la aversión al riesgo.

En general, pasar de $\mathbb{P}$ a $\mathbb{Q}$ requiere la especificación de una forma de prima de riesgo de mercado. Matemáticamente, equivale a elegir una medida martingala equivalente del conjunto de todas las medidas posibles que hacen que los precios de los activos descontados sean martingalas, lo que se basa en el teorema de Girsanov. Sucede que si el mercado es completo, sólo hay una medida única por numéraire.

De todos modos, no hay una relación directa que pueda decir cómo pasar de $\mathbb{P}$ a $\mathbb{Q}$ excepto en entornos de modelización muy particulares, por ejemplo, un GBM bajo $\mathbb{P}$ sigue siendo GBM bajo $\mathbb{Q}$ pero con la deriva modificada (es decir $S_T$ se distribuye de forma lognormal bajo ambas medidas). Esto se debe a que el mercado es completo en ese caso. Pero si se introduce la volatilidad estocástica, por ejemplo, la relación se vuelve mucho más complicada, ya que el mercado ya no es completo (esto ha motivado el uso de técnicas empíricas como la minimización de la entropía).

En cualquier caso, por ausencia de oportunidades de arbitraje, bajo $\mathbb{Q}$ el precio del activo subyacente debería derivar siempre hacia el tipo de interés sin riesgo $r$ . Su modelo NIG no es consistente con eso, como señaló Kiwiakos. Pero simplemente haciendo la deriva $r$ no es suficiente, véase la discusión en los comentarios y lo que acabo de decir arriba. La mejor alternativa sería probablemente calibrar sus parámetros NIG con los precios observados de las opciones (por lo tanto, directamente bajo $\mathbb{Q}$ ) de la misma manera que probablemente derivó su dinámica de BS (me refiero a cómo consiguió $r=5%$ y $\sigma=30%$ en primer lugar).