La Teoría de la utilidad y la optimización de cartera a Prueba de un lexema

Question

Tengo una pregunta en el siguiente problema, a partir del capítulo 9 de la D. Luenberger, la Inversión de Ciencia, Edición Internacional:

(Optimización De Cartera)

Supongamos que un inversionista tiene la función de utilidad de $U$. Hay $n$ los activos de riesgo, con tasas de retorno de $r_i$, $i=1,2,...,$ n, y un activo libre de riesgos, con la tasa de retorno de $r_f$. El inversionista tiene la inicial de la riqueza $W_o$. Supongamos que la cartera óptima para este inversor tiene (al azar) rentabilidad $x^*$. Demostrar que $$E[U^{'}(x^*)(r_i-r_f)]=0$$ por $i=1,2,...,n.$

Me estoy encontrando este un problema muy difícil, ya que no se ve cómo puedo demostrar este analíticamente el uso de las fórmulas para $E[XY]$ o $Cov[X,Y]$ en cierta manera sencilla.

No se menciona si o no los activos de riesgo están correlacionadas o no, que también eleva el nivel de incertidumbre acerca de este problema.

Un pensamiento es que la cartera óptima debe ser tal que $U(x^*)$ se maximiza, pero esto no significa que $U^{'}(x^*)=0$, incluso, a continuación, desde $U$ es monótona creciente.

He tratado de buscar en algunos ejemplos sencillos en Excel para ver si esta identidad se mantiene fiel en la práctica, pero me estoy dando cuenta que es muy difícil de demostrar, incluso si yo uso un simple función de utilidad como un lineal de la función de utilidad.

De hecho, si asumo que $U(x)=x$ como una simple partida de paso, a continuación, $U^{'}(x)=1$ para todo $x,$ y, a continuación, la ecuación sería leído $E[r_i-r_f]=0$, que no es necessarilly verdadero.

He tratado de pensar desde diferentes ángulos, pero yo simplemente no puede procesarlo. Hay alguien que sabe cómo mostrar este lema ¿verdadero o falso?

Gracias de antemano.

Answer 1

Esta es la conocida ecuación de Euler para la optimalidad. El truco aquí es la configuración de la restricción presupuestaria correctamente. Su inicial riqueza $W_0$ es irrelevante. El terminal (de riesgo) la riqueza es, $$W = W_0( 1 + \pi_1 (R_1 - r_f) + \ldots + \pi_n (R_n - r_f) )$$ (Verificar que esto se puede escribir de esta manera), donde $\pi_i \in \mathbf{R}$ es el peso asignado a los activos $i$.

Su problema de optimización es simplemente maximizar la utilidad esperada, $$ \sup_{ \pi_1, \ldots, \pi_n } E[ U(W) ]$$.

Tome la primera a las condiciones de la orden anterior, suponiendo que usted puede intercambiar el orden de integración y diferenciación (existen las condiciones técnicas para garantizar que esta se mantenga, y si usted desea ver los detalles, https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_under_the_integral_sign. Pero en las finanzas, en estas condiciones, prácticamente siempre espera). Una vez que hayas hecho esto, podrás ver el resultado deseado.

Nota: el ejemplo de riesgo de la neutralidad (es decir, $U(x) = x$) es precisamente el caso cuando el problema de optimización es mudo. En este caso, cuando el inversor no se preocupa de riesgo, él simplemente invertir una cantidad infinita de riqueza en el activo con mayor exceso de rentabilidad $E[R_i - r_f]$ y corta una cantidad infinita en todo lo demás. Es por eso que en ese caso especial, la ecuación no se puede sostener. Usted necesita que $U$ es una función de utilidad que representa una aversión al riesgo del agente.

Answer 2

Edit: La original siga rellene los detalles de la respuesta a mi respuesta por James aún está mal (a pesar de las muchas pistas). Voy a ir en solucionarlo para evitar restar el valor futuro de los lectores de este blog.

Sólo para rellenar los detalles de la respuesta que ha sido aceptado ya:

Es necesaria para maximizar la $$\sup_{ \pi_1, \ldots, \pi_n } E[ U(W) ] = \sup_{ \pi_1, \ldots, \pi_n }\;\int ... \int U(W)dF(r_1,\ldots, r_n)$$

Así, por ejemplo, en los dos caso de activos de la condición de primer orden para $\pi_1$ es

$$0 = {\parcial \over \partial \pi_1} \int_{\mathbf{R}} \int_{\mathbf{R}} U(W^*)dF(r_1,r_1) \Big\vert_{ \pi_1 = \pi_1^*, \pi_2 = \pi_2^*}$$, donde $W^*$ es el óptimo terminal de la cartera, evaluados en el óptimo de carteras de $\pi_i^*$; en el problema original, esta notación sería de $x^*$. Para ser aún más explícito, $$ W^* = W_0(1 + \pi_1^* (r_1 - r_f) + \pi_2^* (r_2 - r_f) )$$ Nota a James: sería muy útil para su causa si usted pudiera entender lo que es la diferencia entre un azar return $R_i$ y su realización $r_i$.

Si uno puede intercambiar el orden de la diferenciación y la integración, entonces podemos reescribir la FOC como, $$ 0 = \int_{\mathbf{R}} \int_{\mathbf{R}}U'(W^*)(r_1-r_f) dF(r_1,r_2)\Big\vert_{ \pi_1 = \pi^*_1, \pi_2 = \pi_2^*}$$

Lo mismo para $\pi_1$ esto se hace.