La calibración de las modelos de precios, de manera consistente en dos diferentes clases de derivados

Question

Hola a todos, estoy programando en MATLAB y tengo el siguiente problema de optimización en la calibración de varios anidada especificaciones de los modelos de fijación de precios.

Resumen: tengo dos modelos de fijación de precios ($1$ y $de$ 2, $1$ es anidada en $2$, es decir, el modelo de $2$ se reduce a un modelo de $1$ si una determinada configuración de sus parámetros se considera) y dos conjuntos de derivados ($A$ y $B$). Puedo calibrar cada modelo en los dos conjuntos de instrumentos AL MISMO TIEMPO, minimizar los errores en los precios. Que está bien. El problema surge en la anidación de solicitud: quiero ser modelo $2$ para producir la reducción de precios de los errores en AMBOS conjuntos de instrumentos por SEPARADO y me pregunto si se puede definir una función de pérdida que automáticamente logra esta tarea, es decir, yo quiero que este consistencia condición se tiene: $$\begin{ecuación} \left\{ \begin{aligned} error_{A}[2] \leq error_{A}[1] \\ error_{B}[2] \leq error_{B}[1] \end{aligned} \derecho. \end{ecuación}$$ y NO SÓLO $$error_{A}[2] + error_{B}[2] \leq error_{A}[1] + error_{B}[1]$$ fin de resumen.

Estoy pensando en dos series de derivados quisiera precio, digamos $A$ y $B$. En la clase $A$, hay $i=1,...,N$ instrumentos, con los precios de mercado que se denota como $a^{i}_{MKT}$, y en el otro hay $j=1,...,M$ instrumentos, cuyos precios de mercado se denotan con $b^{j}_{MKT}$.

Voy a empezar con un modelo de $1$, dependiendo de un conjunto $\{x\}$ de parámetros. Bajo este modelo, el modelo de precios para instrumentos de $A$ y $B$ son denotadas como $a^{i}_{mdl}(x)$ y $b^{j}_{mdl}(x)$.

La idea más simple es para calibrar los parámetros del modelo $\{x\}$ minimizar el error en el precio. Por ejemplo minimizando la Suma de Cuadrados de los Errores de pérdida:

$$\begin{ecuación} \begin{aligned} pérdida(x) &= loss_{A}(x) + loss_{B}(x) \\ &= \sum^{N}_{i=1}\left|a^{i}_{MKT} - a^{i}_{mdl}(x) \derecho|^2 + \sum^{M}_{j=1}\left|b^{j}_{MKT} b^{j}_{mdl}(x) \derecho|^2 \end{aligned} \end{ecuación}$$

De esta manera, los parámetros óptimos $\{x_{opt}\}$ serán aquellos minimizar $pérdida(x)$. Let it be: $$\begin{ecuación} \begin{aligned} pérdida(x_{opt}) &= loss_{A}(x_{opt}) + loss_{B}(x_{opt}) \\ &\stackrel{def}{=} error_{A}[1] + error_{B}[1] \end{aligned} \end{ecuación}$$

Ahora mi problema: estoy pensando en un modelo de 2$$, que es una generalización del modelo $1$, En el sentido de que el modelo de $2$ depende de los parámetros avanzados conjunto $\{x,y\}$. Modelo $2$ produce modelo de precios de $\hat{a}^{i}_{mdl}(x,y)$ y $\hat{b}^{j}_{mdl}(x,y)$. Por el bien de la exposición usted puede pensar que el modelo de $2$ se reduce a un modelo de $1$ si $y=0$, es decir, $\hat{a}^{i}_{mdl}(x,0) = a^{i}_{mdl}(x)$ y $\hat{b}^{i}_{mdl}(x,0) = b^{i}_{mdl}(x)$.

Ahora si puedo seguir usando el de arriba ESS $pérdida$ para calibrar el modelo $2$, voy a minimizar $$\begin{ecuación} \begin{aligned} pérdida de(x,y) &= loss_{A}(x,y) + loss_{B}(x,y) \\ &= \sum^{N}_{i=1}\left|a^{i}_{MKT} - \hat{a}^{i}_{MDL}(x,y) \derecho|^2 + \sum^{M}_{j=1}\left|b^{j}_{MKT} - \hat{b}^{j}_{mdl}(x,y) \derecho|^2 \end{aligned} \end{ecuación}$$ Optimizado los parámetros para el modelo de 2 $$será $\{x_{opt},y_{opt}\}$ y, en consecuencia, definimos: \begin{ecuación} \begin{aligned} pérdida(x_{opt},y_{opt}) &= loss_{A}(x_{opt},y_{opt}) + loss_{B}(x_{opt},y_{opt}) \\ &\stackrel{def}{=} error_{A}[2] + error_{B}[2] \end{aligned} \end{ecuación} Ahora el por encima de las calibraciones producir los siguientes anidación de relación para asegurarse de:$$ error_{A}[2] + error_{B}[2] \leq error_{A}[1] + error_{B}[1] $$ pero NO es NECESARIO $$\begin{ecuación} \left\{ \begin{aligned} error_{A}[2] \leq error_{A}[1] \\ error_{B}[2] \leq error_{B}[1] \end{aligned} \derecho. \end{ecuación}$$ eso es lo que quiero. Por ejemplo, el modelo de $2 dólares pueden mejorar altamente precios de$Un$derivados, pero un poco mal de fijación de precios en el conjunto$B$, w.r.t. modelo$1$. Lo que yo quiero es que el modelo de$2$mejorar los precios w.r.t. el modelo de$1$por TANTO$A$y$B$ conjuntos!

¿Alguien puede sugerirme una pérdida/calibración procedimiento/lo que sea, la consecución de este objetivo. Gracias de antemano por su tiempo y atención.

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Nota técnica: el procedimiento se realiza con lsqnonlin, en el Matlab optimización de la caja de herramientas.

Answer 1

Parece que implícitamente tiene un multi-objetivo de la optimización en la mente, de ahí que por supuesto puede suceder que usted no es capaz de alcanzar todos los objetivos simultáneamente. Digamos que la salida de un modelo más general es de $f(x,y)$ de modo que la salida del primer modelo es de $f(x,0) = f_0(x)$. Denotando los precios de mercado por $m_k$, que en su caso significa $m_1 = A$ y $m_2= B$ de realizar la optimización siguientes: $$(x',y'):=\arg\min \sum_k d(f,m_k),\qquad x":=\arg\min \sum_k d(f_0,m_k),$$ donde $d$ denota a una distancia apropiada de la función ($L_2$ norma en su caso). Ahora, si quieres cumplir con las restricciones adicionales $d(f(x',y'),m_k) \leq d(f(x",0),m_k) \;\forall k$, que se acaba de incluir en su optimización. Me gustaría esbozar los pasos de la siguiente manera:

1. Calcular $x"$ sólo por la colocación de la primera modelo en el mercado de datos.

2. El uso de restricciones con $x"$ obtenido en el paso anterior para encontrar el óptimo $(x',y')$ para el segundo modelo.

La aplicación detallada de el segundo paso depende de la estructura del modelo, pero en esencia lo que sólo hace que el procedimiento que se utiliza más compleja, ya que ahora usted tiene que tomar las limitaciones en cuenta, por lo que la solución óptima se puede lejía en el límite descrito por una de las restricciones. Por ejemplo, si usted utiliza el gradiente de descenso antes, ahora también se puede utilizar pero, independientemente de la dirección que lleva fuera de restricciones: en ese caso, sólo se mueven a lo largo de la restricción en la dirección deseada.