Pregunta acerca de la forma cuadrática de f* en la Continua Criterio de Kelly

Question

Estoy tratando de seguir el Óptimo Kelly derivación en Wikipedia para dos continuo de activos: una arriesgada y uno libre de riesgo.

La derivación empieza por asumir que los activos de riesgo sigue una GBM (un tipo especial de exponencial semi-martingala). Se supone que ya sabemos que la solución para el valor esperado de $S_t$ (convexidad de ajuste y de todos).

La derivación a continuación, dice que nuestra tasa esperada de retorno de la inversión de $f$ en los activos de riesgo y $(1-f)$ en el activo libre de riesgos, es:

(1) $${\displaystyle G(f)=f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}+(1-f)\ r}$$

¿Cómo $G(f)$ convertido en una función cuadrática de $f$? Intuitivamente, la forma cuadrática tiene más sentido, porque de lo contrario la optimización de un lineal de $f^*$ prescribiría apalancamiento máximo y así asegurar el Jugador a la ruina. Mi sensación es que se desprende del lema de Ito (o algunos analógica de la misma).

Yo lo seguimos con el resto de la derivación en términos de encontrar $f^*$.

(Respuesta correcta otorgado para la prueba por Ito Lema)

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crédito extra

Pero, ¿por qué es de $G(f)$ no de los siguientes?

(2) $$G(f)= \ln\left(f\,e^{(\mu -{\frac {\sigma^{2}}{2}})}\ + (1-f)\,e^r\right) $$

Porque: $${\mathbb{E}[S_t]} = S_0\,e^{(\mu -{\frac {\sigma^{2}}{2}})t}$$

I. e., cómo las fracciones de pesos por el riesgo y libres de riesgo de los activos en su camino hacia el exponente?

Answer 1

El Criterio de Kelly tiene el objetivo de maximizar el valor esperado del logaritmo de la terminal de la riqueza. La derivación comienza suponiendo que hay un activo arriesgado que sigue un Movimiento Browniano Geométrico:

$$ \frac{\,dS}{S} = \mu \,dt + \sigma \,dZ_t $$

Esto se combina con la de los activos libres de riesgo que está continuamente compuestos:

$$ \frac{dB}{B} = r \,dt $$

Por lo tanto, si queremos construir una cartera de las dos con las proporciones de$f$ en los activos de riesgo y $1-f$ en los libres de riesgo de los activos, su valor, de $G$, le sigue la ecuación:

$$ \frac{\,dG}{G} = \frac{(1-f)\,dB + f\,dS}{G} = (1-f) r \,dt + f\mu \,dt + f\sigma \,dZ_t $$

En otras palabras, su valor sigue un Movimiento Browniano Geométrico con la deriva, $(1-f)r + f\mu$, y la varianza, $f\sigma$.

Podemos utilizar Ito lema a encontrar el proceso dependiente del tiempo para $\log(G)$. Usando el Lema de Ito con $f(G) = \log(G)$ da:

$$ \begin{align} \,d f(G) & = f'(G)\,dG + \frac{1}{2}f"(G) (Gf\sigma)^2 \,dt \\[3pt] &= \left((1-f) r \,dt + f\mu \,dt + f\sigma \,dZ_t\derecho) -\frac{1}{2}(f\sigma)^2\,dt \end{align}$$

En otras palabras, nuestro valor esperado de $\log(G)$ después de 1 periodo es de $(1-f)r + f\mu -\frac{1}{2}(f\sigma)^2$. Es fácil derivar $f^*$ a partir de esta fórmula.

Estoy seguro de que usted puede atar en Shannon Demonio si quieres, pero yo no lo he hecho aquí.