¿Cómo se anualiza la volatilidad de los rendimientos de los no-iid?

Question

Tengo una serie de rendimientos logarítmicos mensuales; supongamos que los rendimientos logarítmicos se distribuyen normalmente, pero presentan una correlación serial significativa.

En el caso de rendimientos normales, i.i.d., puedo anualizar los rendimientos logarítmicos multiplicándolos por un factor 12, y anualizar la volatilidad por un factor sqrt(12).

Dada la dependencia de mis rendimientos, ¿cómo puedo escalar correctamente a los resultados anuales?

Answer 1

La respuesta correcta tiene algo de intuición aunque no se generaliza al tiempo continuo muy fácilmente:

Piensa en el papel de abajo así:

$Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$

La generalización es un poco difícil porque la dinámica de $\mu$ y $\sigma^2$ podría ser dependiente para rendimientos arbitrarios. Se puede utilizar un estimador GMM para derivar la distribución asintótica para las cantidades requeridas y generalizar:

La fórmula se da como:

$Q = \sqrt{T + 2\sum^{T-1}_{k=1} (T-k) \rho_k}$

donde $Q$ es el factor de anualización, y $\rho_k$ es la autocorrelación en el $\text{k}^{\text{th}}$ lag.

Andrew Lo analizó esta idea en el documento Estadísticas de los ratios de Sharpe (2002).

Answer 2

La respuesta es que depende. Además del documento de Lo mencionado anteriormente, hay una serie de excelentes referencias que profundizan en la anualización o el escalado temporal de los rendimientos no i.d., una de las cuales es Roger Kauffman, "Long-Term Risk Management", 2005, que puede encontrarse en http://www.rogerkaufmann.ch/all-Budapest.pdf .

Hay algunos casos bien conocidos en los que la varianza de los rendimientos no i.d. puede seguir siendo escalada en el tiempo, pero he aquí un ejemplo realista. Supongamos que tenemos una cartera cuyos cambios diarios vienen dados por una variable aleatoria $P_t$ que no es i.i.d. pero que sigue siendo idénticamente distribuido en el tiempo. Todavía puede ser posible definir la relación de dependencia y utilizar sus propiedades para escalar la volatilidad.

Supongamos que las ganancias/pérdidas diarias de una cartera $P_t$ siguen un proceso autorregresivo de primer orden con innovaciones normales, es decir, que

$P_t \sim\phi_1 P_{t-1} + \epsilon_t \quad where \quad \epsilon_t \sim \mathcal{N}(0,\sigma_\epsilon^2)$

En este caso, se puede demostrar que tanto las pérdidas y ganancias de 1 día como las de T están distribuidas normalmente.

$P_t \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{\sigma_\epsilon^2}{1-\phi_1^2}\right) \qquad and\quad \sum\limits_{t=1}^T P_t \sim \mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma_\epsilon^2}{(1-\phi_1)^2} \left(T - 2\phi_1 \frac{1-\phi_1^T}{1-\phi_1^2}\right)\right)$

A continuación, se puede obtener una expresión para la relación entre la volatilidad del período T y la volatilidad de un día.

$\frac{Vol(P_t)|time T}{Vol(P_t)|time 1}=\sqrt{ \frac{1+\phi_1}{1-\phi_1} \left(T-2\phi_1 \left(\frac{1-\phi_1^T}{1-\phi_1^2}\right)\right)}$

El lado derecho es también el factor de escala que se aplicaría a la volatilidad de 1 día para obtener la volatilidad del periodo T . También está claro que como $\phi_1 \to 0$ o lo que es lo mismo, sin autocorrelación y por lo tanto de vuelta a la distribución independiente, entonces como era de esperar:

$(Vol(P_t)|time=T) \to \sqrt{T}\times (Vol(P_t)|time=1)$

En la medida en que las innovaciones no sean normales, la solución AR(1) puede estar sesgada. También puede ir sin decir, pero incluso si no hay medios analíticos directos para escalar los rendimientos diarios, siempre y cuando la distribución es analítica y se puede expresar los rendimientos en el momento t como una función de los rendimientos de los períodos anteriores $t-k$ entonces la simulación de Monte Carlo puede utilizarse para simular un número arbitrariamente grande de caminos $N$ a lo largo de cualquier periodo de tiempo arbitrario $T$ . Esto da lugar a una distribución de resultados de retorno $x_i$ en el momento T. La volatilidad (desviación estándar en realidad) podría calcularse de la forma convencional, es decir

$s_N = \sqrt {\frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {x_i - \bar x} \right)^2 } }$