¿Por qué es la varianza de una cartera de una forma cuadrática?

Question

Yo estaba leyendo acerca de la MPT http://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory y se percata de que el total de la varianza de una cartera es de $x' \Sigma$ x, donde x es la ponderación de los activos y $\Sigma$ la covarianza de los rendimientos.

Estoy tratando de ganar algo de intuición acerca de por qué esto es una ecuación cuadrática, y no simplemente la suma de los activos individuales riesgos multiplicado por su peso.

Answer 1

si usted toma la varianza de un solo activo escalas como una ecuación cuadrática, $$ var(\lambda X) = \lambda^2 var(X) $$ así que no es sorprendente que en el caso general da una forma cuadrática.

Answer 2

Si usted toma la muestra histórica de la rentabilidad del activo como modelo para el riesgo, entonces usted puede hacer dos cosas:

1. Calcular $r_j = \sum_{i=1}^n w_i r_i^j$ por tanto, para cada escenario $j$ agregan el individuo rentabilidad del activo para obtener un escenario para la cartera. A continuación, puede calcular $Var(r_j)$ la varianza de la muestra de la rentabilidad de la cartera. Este es el mismo como
2. calcular la matriz de covarianza $\Sigma$ en el individuo, la rentabilidad del activo y, a continuación, realizar $x' \Sigma$x.

El resultado será el mismo. En el procedimiento 1) usted verá que los activos con correlación positiva tienden a aumentar o disminuir el total de la cartera de regreso en los escenarios de $j$ (positivo covarianza) - otros se compensan entre sí (covarianza negativa). Esta es la forma en cómo la covarianza influye en la variación en el rendimiento de la cartera. En 1) se puede ver claramente en cada escenario (en promedio) y en 2) se traduce en $\Sigma$.

Esto debe responder por qué la covarianza escriba la expresión de la varianza. Por qué es una ecuación cuadrática de la forma: como Marca de Joshi pone: es una recta hacia adelante generalización de la univariante situación.