Sabemos que si $u$ es $\succeq$ en $X$, entonces para cualquier estrictamente creciente en función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, entonces $v(x) = f(u(x))$ es $\succeq$ en $X$
($X$ en este caso es de $\mathbb{R^n}$)
Considerar $v(x, \rho) = \ln(u(x, \rho)) - \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1}\alpha_i \derecho]}{\rho}$, que es estrictamente creciente.
$$v(x, \rho) = \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \derecho]}{\rho} - \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1}\alpha_i \derecho]}{\rho} =
\frac{\ln\left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \derecho] - \left [\ln\sum^n_{i=1}\alpha_i \derecho]}{\rho}$$
El límite de esta como $\rho \rightarrow 0$ es indeterminado, $\frac{0}{0}$. Por lo que podemos utilizar la Regla de L'Hospital y tomar la derivada con respecto a $\rho$ del numerador y el denominador.
$$\lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \derecho] - \left [\ln\sum^n_{i=1}\alpha_i \derecho]}{\rho} =
\lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho} \cdot \left(\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho \ln x_i\right)$$
por la Regla de la Cadena.
$$= \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho \ln x_i}{\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho} = \frac{\sum^n_{i=1} \alpha_i \ln x_i}{\sum^n_{i=1} \alpha_i} = \frac{1}{\sum^n_{i=1} \alpha_i} \cdot \ln\left(\prod^n_{i=1} x_i^{\alpha_i}\right)$$
Considerar $w(x, \rho) = \mathrm{e}^{(\sum^n_{i=1} \alpha_i) \cdot v(x, \rho)}$, que es otra transformación monotónica, estrictamente creciente. Por lo que $w$ todavía representa las mismas preferencias que $u$.
$$\lim_{\rho \rightarrow 0} w(x, \rho) = \mathrm{e}^{(\sum^n_{i=1} \alpha_i) \cdot \lim_{\rho \rightarrow 0} v(x, \rho)} = \prod^n_{i=1} x_i^{\alpha_i}$$
que es una Cobb-Douglas de la función.
$\square$
Para mostrar el segundo punto, es suficiente para mostrar que
$$\lim_{\rho \rightarrow -\infty} u(x) = \left\{x_k \ \forall j \neq k \a mediados de x_j \geq x_k \right\}$$
$$u(x) = \left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \derecho]^\frac{1}{\rho} = x_k \left[(\sum^n_{i=1, i \neq k} \alpha_i x^\rho_i) + \alpha_k \derecho]^\frac{1}{\rho}$$
$(\frac{x_j}{x_k})^\rho \rightarrow 0$ como $\rho \rightarrow -\infty$ si $x_j > x_k$
$(\frac{x_j}{x_k})^\rho \rightarrow 1$ como $\rho \rightarrow -\infty$ si $x_j = x_k$
Así
$$\lim_{\rho \rightarrow -\infty} x_k \left[(\sum^n_{i=1, i \neq k} \alpha_i x^\rho_i) + \alpha_k \derecho]^\frac{1}{\rho} = x_k$$
desde $1/\rho \rightarrow 0$ y una constante a la cero potencia es 1.
Construir un argumento similar para cualquier $k$. Por lo tanto $\lim_{\rho \rightarrow -\infty} u(x) = \min \left\{x_1,...,x_n \right\} $
$\square$
