El límite superior de una opción de venta americana

Question

Acabo de leer el siguiente párrafo (en negrita) y tengo una pregunta sobre el límite superior de una opción put americana:

http://www.sharemarketschool.com/option-valuation-upper-and-lower-bounds-part-iii/

"Límites superiores de las opciones put americanas:

La opción put americana no puede tener un valor mayor al precio de ejercicio. Por lo tanto, si la acción subyacente está en Rs 70 con un precio de ejercicio de Rs 75, el valor de la opción put no puede ser mayor a 75. Eso es fácil de entender. La existencia o inexistencia de dividendos en la acción subyacente no hace ninguna diferencia en este caso. El límite superior siempre será el precio de ejercicio en el caso de las opciones put americanas."

Mi pregunta es:

El límite inferior de una opción put americana y europea se puede obtener mediante la paridad de llamada-put:

$P(S, \tau; X) \geq p(S, \tau; X) \geq \text{max}(XB(\tau)+D-S, 0)$

donde
$S$ : precio actual de la acción,
$\tau$ : tiempo hasta el vencimiento
$X$ : precio de ejercicio
$P$ : precio de una opción put americana
$p$ : precio de una opción put europea
$B(\tau)$ : precio del bono de descuento sin cupón
$D$ : valor presente de múltiples pagos de dividendos determinísticos

Por lo tanto, con $D$ siendo suficientemente alto y $S$ siendo suficientemente bajo, es posible que

$\text{max}(XB(\tau)+D-S, 0) \gt X$

lo cual contradice la afirmación de que el límite superior de una opción put americana es el precio de ejercicio.

¿Cómo resolver esta contradicción? ¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

Los dividendos no importan para la determinación del límite superior. De hecho, la ganancia máxima que puede obtener el tenedor de una opción de venta (ya sea a través de una característica de ejercicio europea o americana) es exactamente igual al precio de ejercicio $X$. Esto se puede ver simplemente mirando la función de pago: la ganancia máxima es finita y se encuentra en el lado negativo cuando el activo subyacente vale 0. En consecuencia, no hay forma de que el precio de una opción de venta con tiempo de vencimiento $\tau$ pueda ser mayor que $X$, la ganancia máxima alcanzable (asumiendo tasas de descuento positivas).

Dicho esto, el límite inferior para el precio de una opción de venta europea en realidad se puede derivar fácilmente utilizando la desigualdad de Jensen (es decir, si $f$ es una función convexa, entonces $E[f(X)] \geq f(E[x]) ): \begin{align} P(S_0;\tau,X) &= B(\tau)E_0[ \max(X-S_\tau, 0) ] \\ &\geq B(\tau)\max(E_0[X-S_\tau], 0) = \max(B(\tau)X-B(\tau)F(0,\tau), 0) \end{align> donde $F(0,\tau)$ representa el precio a plazo.

De la expresión anterior, se puede ver que el primer argumento de la función $\max(.,.)$ siempre es menor que $B(\tau)X$ porque $F(0,\tau)$ siempre es positivo en el mundo de las acciones. Por lo tanto, no hay conflicto entre el resultado anterior y el límite superior teórico $X (asumiendo tasas de descuento positivas).

Ten en cuenta que tu ecuación da exactamente el mismo resultado, ya que en ausencia de oportunidades de arbitraje: $$B (\tau)F (0,\tau) = S_0 -D$$ Lo cual se puede demostrar con un simple argumento de compra y transporte. Por lo tanto, cuando digo que $F (0,\tau)$ es positivo, es equivalente a decir que $S_0 \geq D $ en tu ecuación. En otras palabras, el precio actual de la acción refleja los pagos de dividendos esperados en el futuro: no puedes razonablemente tener $S_0$ lo suficientemente pequeño y $D $ lo suficientemente grande al mismo tiempo.

También no hay tal cosa como paridad entre llamadas y opciones de venta para opciones americanas (debido a la característica de ejercicio anticipado). Bueno, sí la hay, pero se convierte en una desigualdad en lugar de la conocida igualdad observada para las opciones europeas.

Answer 2

Dado que $max(KB(\tau) + D - S, 0) > K$ y suponiendo que la huelga $K$ es positiva, sabemos que $max(KB(\tau) + D - S, 0) = KB(\tau) + D - S$, ya que $0$ es menor que $K.

Dado eso, obtenemos:

$KB(\tau) + D - S > K$

$D - S > K (1 - B(\tau))$

Suponiendo que $B(\tau) \leq 1$ (tasa de interés no negativa), obtenemos:

$D - S > K (1 - B(\tau)) \geq 0

$D > S

O, en otras palabras, el activo se está vendiendo por menos que el valor presente de los dividendos, lo que representa una oportunidad de arbitraje.