Explicación intuitiva de la teoría de la cartera estocástica

Question

Fernholz y Karatzas han publicado varios artículos sobre la llamada teoría estocástica de la cartera. Básicamente dicen que el rendimiento que se espera de una cartera a largo plazo es más bien la tasa de crecimiento $$ \gamma = \mu - \frac12 \sigma^2 $$ que $\mu$ , donde $\mu$ es el coeficiente de deriva del proceso de precios $S_t$ que resuelve la siguiente EDE: $$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t. $$

Se puede argumentar con el lema de Ito, con la media geométrica de una variable aleatoria lognormal y similares, pero ¿cuál es la intuición detrás de esto?

Como referencias ver Teoría estocástica de la cartera y equilibrio bursátil por Fernholz y Shay para el primer trabajo sobre esto y ¿Necesita una cartera de baja volatilidad una "anomalía de baja volatilidad"? de Meidan como referencia más reciente.

Si no me equivoco, el SDE anterior tendría el siguiente aspecto $$ dS_t = (\mu-\sigma^2/2) S_t dt + \sigma S_t \circ dB_t $$ en forma de Stratonovich y se ve la tasa de crecimiento "correcta"... que es otro enlace. Pero, ¿cuál es el panorama general de todo esto?

Answer 1

Tratando de arrojar algo de luz aquí:

Lo que también vemos al utilizar esto aquí es que si los rendimientos se distribuyen de forma log-normal, es decir. $$ 1 + r = \exp(\mu + \sigma Z), $$ con $Z$ estándar-normal, entonces $$ E[1+r] = \exp(\mu + \frac 12 \sigma^2) $$ se mantiene. Pero la media geométrica $GM$ viene dada por $\exp(\mu)$ y nosotros tenemos $$ \log(GM) = \mu = \log(E[1+r]) - \sigma^2 /2 $$

y la rentabilidad media anual $aan$ en $n$ años $$ 1 + aan = (\prod_{i=1}^n (1+r_i))^{1/n} $$ es igual que la media geométrica. Por último, después de $n$ años hemos $$ \prod_{i=1}^n (1+r_i) = (1 + aan)^n $$ deberíamos preocuparnos más por la media geométrica.

Una observación más: Una lata muestra que para $x$ cercano a cero se sostiene que $$ \log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2}. $$ Entonces tomando la expectativa obtenemos $$ E\log(1+x) \approx \mu - \frac{\sigma^2}{2}. $$

Answer 2

Esto dependerá de la definición de "rendimiento a largo plazo". Si definimos la rentabilidad anualizada a largo plazo como $\frac{1}{T}\ln \frac{S_T}{S_0}$ durante un tiempo determinado $T$ en el futuro, entonces \begin{align*} E\left( \frac{1}{T}\ln \frac{S_T}{S_0} \right) = \mu-\frac{1}{2}\sigma^2, \end{align*} como se ha dicho. Tenga en cuenta que $\mu$ es el retorno instantáneo.