Opción en un juego de dados

Question

Estoy sligtly confundido por este problema, aunque no debería ser difícil.

Nos deja rodar un sigle dados. Si el dado muestra $n$, yo reciba $n$ dólares. Puedo comprar una opción de tirar de nuevo el dado. ¿Cuál es el precio de la opción?

Mi idea es que el precio debe ser el beneficio esperado del juego, que está condicionado por sobre el resultado del primer juego, pero no estoy seguro de cómo se escribe esto precisamente.

Answer 1

Me gustaría utilizar los siguientes argumentos:

Si la opción fueron en la primera tirada de los dados, entonces tenemos que el precio es el uso de la expectativa, que es $3.5$ (= $(1+2+\cdots+6)/6$.

Ahora tenemos un 2 etapas de juego:

• Primer lanzamiento : si el jugador tira más de $3.5$ puntos, es decir, $4,5,6$, entonces no tiene sentido tirar de nuevo. Si arroja $1-3$ entonces tiene sentido lanzar de nuevo.
• Segundo lanzamiento: dado que la primera tirada fue de $1-3$ esperamos una rentabilidad de $3.5$.

Para que podamos precio de la opción de $1/2*3.5 = 1.75$, que es la probabilidad de que la opción vale nada después de la primera tirada veces el valor de la opción en el segundo tiro.

Answer 2

Colgar en un segundo. El valor del juego, asumiendo que usted tiene una opción para rodar una segunda vez es 4.25, según lo establecido anteriormente. Pero el valor del juego sin la opción de tirar de nuevo es de 3.5. Por lo tanto, el valor de la opción es de 0,75.

Answer 3

Este es un problema de programación dinámica.

Para un rollo, la expectativa será de 3.5.

Para dos rollos, si la primera tirada obtiene 1 o 2 o 3, que va a rodar otra vez. En otras palabras, usted tiene 1/2 oportunidad de hacer el segundo rollo y obtener la expectativa de 3.5. Si 4 o 5 o 6, se detiene aquí, ya que es lo suficientemente bueno por encima de la expectativa (3.5). Para tal resultado como 4 o 5 o 6, el promedio es de 5 con otro 1/2 de probabilidad. Así que el total de la expectativa será 1/2*3.5 + 1/2*5 = 4.25.

Para los tres rollos, que se considere el caso de una manera diferente después de la primera rueda. Si puedo obtener 5 o 6, voy a parar aquí por un rollo ya que se obtienen por encima de mis expectativas. De lo contrario, voy a rodar dos veces y obtener la expectativa de dos rollos de 4.25. En total, la expectativa será 2/3*4.25 + 1/3*5.5 = 14/3 = 4.67.

Supongamos que tenemos k rollos y obtener la expectativa $E$ por encima de 5, tenemos que cambiar la estrategia de nuevo después de la primera tirada. Usted puede dejar de rodar si usted recibe 6, de lo contrario seguir para obtener $E$ valores. La expectativa va a ser así: $$E_{nuevo} = 1/6*6 + 5/6*E_{edad} $$

Para n rollos, escribir un programa en Python como el siguiente:

def die_fair_value(rolls): cnt=1 val=3.5 while cnt < rolls: if val < 4:

Answer 4

La siguiente tirada es independiente de los lanzamientos anteriores, por lo que sólo calcular el valor de los pagos futuros esperados de la opción a seguir.

Cuántos "$n$"s ¿los dados tienen, y cuál es su probabilidad?